南开大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四、（25分）计算曲线积分
$$
I=\int_{L}\left(x^{3} y+e^{y}\right) \mathrm{d} x+\left(x y^{3}+5 x^{3} y^{2}+x e^{y}\right) \mathrm{d} y
$$
其中 $L$ 为逆时针方向椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+9 y^{2}=36$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确认使用格林公式的条件
曲线 \(L\) 是封闭的椭圆，方向为逆时针，被积函数中的 \(P(x,y)\) 和 \(Q(x,y)\) 在椭圆内部连续且具有连续偏导数，所以格林公式适用。格林公式形式为：
\[
\oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy
\]
其中 \(D\) 是 \(L\) 所围成的区域。
公式：格林公式：\(\oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy\)
提示：注意曲线必须是封闭的，且方向为逆时针，否则需要调整符号。
步骤 2/7
目标：写出P和Q并计算偏导数
这里：
\[
P = x^3 y + e^y, \quad Q = x y^3 + 5x^3 y^2 + x e^y
\]
先求 \(\frac{\partial Q}{\partial x}\)：
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = y^3 + 15 x^2 y^2 + e^y
\]
再求 \(\frac{\partial P}{\partial y}\)：
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = x^3 + e^y
\]
于是：
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (y^3 + 15x^2 y^2 + e^y) - (x^3 + e^y) = y^3 + 15x^2 y^2 - x^3
\]
公式：\(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^3 + 15x^2 y^2 - x^3\)
提示：计算偏导数时注意对 \(x\) 或 \(y\) 求导，其他变量视为常数，特别是 \(e^y\) 对 \(x\) 求导为0。
步骤 3/7
目标：转化为二重积分
由格林公式：
\[
I = \iint_{D} (y^3 + 15x^2 y^2 - x^3) \, dx\,dy
\]
其中 \(D\) 是椭圆区域：
\[
4x^2 + 9y^2 \le 36
\]
或标准形式：
\[
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1
\]
公式：\(I = \iint_{D} (y^3 + 15x^2 y^2 - x^3) \, dx\,dy\)
提示：椭圆方程化为标准形式有助于后续变量变换。
步骤 4/7
目标：利用对称性简化
区域 \(D\) 关于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴对称。
- 对于 \(y^3\)：它是 \(y\) 的奇函数，区域对称，积分为0。
- 对于 \(-x^3\)：它是 \(x\) 的奇函数，区域对称，积分为0。
所以只剩下：
\[
I = \iint_{D} 15 x^2 y^2 \, dx\,dy
\]
公式：\(I = \iint_{D} 15 x^2 y^2 \, dx\,dy\)
提示：利用对称性可以简化计算，但需注意被积函数是否为奇函数或偶函数。
步骤 5/7
目标：用变量变换（广义极坐标）计算
令：
\[
x = 3r\cos\theta, \quad y = 2r\sin\theta
\]
则椭圆内部对应 \(0 \le r \le 1\)，\(0 \le \theta \le 2\pi\)。
雅可比行列式为：
\[
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =
\begin{vmatrix}
3\cos\theta & -3r\sin\theta \\
2\sin\theta & 2r\cos\theta
\end{vmatrix}
= 6r (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 6r
\]
被积函数：
\[
x^2 y^2 = (9 r^2 \cos^2\theta) \cdot (4 r^2 \sin^2\theta) = 36 r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta
\]
所以：
\[
15 x^2 y^2 = 15 \cdot 36 r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta = 540 r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta
\]
于是积分变为：
\[
I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 540 r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta \cdot 6r \, dr\, d\theta
= 3240 \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta \int_{0}^{1} r^5 \, dr
\]
公式：\(I = 3240 \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta \int_{0}^{1} r^5 \, dr\)
提示：广义极坐标变换时，雅可比行列式要正确计算，且注意积分限的对应关系。
步骤 6/7
目标：分别计算积分
先算 \(r\) 部分：
\[
\int_{0}^{1} r^5 dr = \frac{1}{6}
\]
再算角度部分：
\[
\cos^2\theta \sin^2\theta = \frac{1}{4} \sin^2 2\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4\theta}{2} = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}
\]
所以：
\[
\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos 4\theta}{8} d\theta
= \frac{1}{8} \left( 2\pi - 0 \right) = \frac{\pi}{4}
\]
公式：\(\int_{0}^{1} r^5 dr = \frac{1}{6}\)，\(\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{4}\)
提示：角度积分时利用三角恒等式降幂，注意 \(\cos 4\theta\) 在一个周期内积分为0。
步骤 7/7
目标：合并结果
将两部分结果代入：
\[
I = 3240 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{6}
= 3240 \cdot \frac{\pi}{24}
= 135\pi
\]
公式：\(I = 135\pi\)
提示：计算时注意约分，避免算术错误。
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