南开大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
五、（25 分）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(\frac{x-1}{x}\right)^{n}$ 的收玫域及和函数．六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调递增，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．设 $n$为正整数，$\displaystyle \xi_{k} \in\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right], k=1,2, \cdots, n$ 。证明：
$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\right| \leq \frac{1}{n}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：换元简化级数形式
令 $t = \frac{x-1}{x}$，则原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(\frac{x-1}{x}\right)^n$ 化为 $\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) t^n$。
公式：$t = \frac{x-1}{x}$
提示：注意 $x \neq 0$，换元后需先研究 $t$ 的收敛域再反解 $x$。
步骤 2/6
目标：求 t 的收敛半径与收敛域
系数 $a_n = n(n+1)$，由 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n(n+1)} = 1$ 得收敛半径 $R=1$。当 $|t|<1$ 时绝对收敛，$|t|>1$ 时发散。边界 $t=\pm 1$ 时通项不趋于 0，故发散。因此 $t$ 的收敛域为 $|t|<1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n(n+1)} = 1$
提示：使用根值法或比值法均可，注意边界检验。
步骤 3/6
目标：反解 x 的收敛域
由 $t = 1 - \frac{1}{x}$，不等式 $|t|<1$ 即 $-1 < 1 - \frac{1}{x} < 1$。
- 右边：$1 - \frac{1}{x} < 1 \Rightarrow -\frac{1}{x} < 0 \Rightarrow \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow x > 0$。
- 左边：$-1 < 1 - \frac{1}{x} \Rightarrow -2 < -\frac{1}{x} \Rightarrow \frac{1}{x} < 2$，结合 $x>0$ 得 $x > \frac{1}{2}$。
故收敛域为 $x > \frac{1}{2}$。
公式：$-1 < 1 - \frac{1}{x} < 1$
提示：注意 $x=0$ 不在定义域内，且需同时满足两个不等式。
步骤 4/6
目标：求和函数：利用已知幂级数公式
已知当 $|t|<1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) t^n = \frac{2t}{(1-t)^3}$（可由 $\frac{1}{1-t}$ 两次求导得到）。代入 $t = \frac{x-1}{x}$，并计算 $1-t = \frac{1}{x}$，得 $S(x) = \frac{2 \cdot \frac{x-1}{x}}{(1/x)^3} = 2x^2(x-1)$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) t^n = \frac{2t}{(1-t)^3}$
提示：注意 $1-t = 1/x$ 的化简，避免代数错误。
步骤 5/6
目标：第六题：建立积分与黎曼和的夹逼关系
由于 $f$ 单调递增，在每个小区间 $[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}]$ 上，$f(\frac{k-1}{n}) \le f(\xi_k) \le f(\frac{k}{n})$。积分满足 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k-1}{n}) \le \int_0^1 f(x)dx \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})$。黎曼和 $\frac{1}{n}\sum f(\xi_k)$ 也介于左和与右和之间。
公式：$f\left(\frac{k-1}{n}\right) \le f(\xi_k) \le f\left(\frac{k}{n}\right)$
提示：利用单调性确定区间端点函数值的大小关系。
步骤 6/6
目标：第六题：估计误差并利用 telescoping sum 化简
积分与黎曼和的差的绝对值不超过右和与左和的差：$\left| \int_0^1 f(x)dx - \frac{1}{n}\sum f(\xi_k) \right| \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left[ f\left(\frac{k}{n}\right) - f\left(\frac{k-1}{n}\right) \right]$。右边为 telescoping sum：$\frac{1}{n}[f(1)-f(0)] = \frac{1}{n}(1-0) = \frac{1}{n}$。
公式：$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left[ f\left(\frac{k}{n}\right) - f\left(\frac{k-1}{n}\right) \right] = \frac{1}{n}$
提示：注意 $f(0)=0, f(1)=1$ 的使用，以及求和项消去中间项。
步骤 7/7
目标：对误差求和并利用裂项相消
对 $k=1$ 到 $n$ 求和，由绝对值不等式得：$\left|\int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\right| \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \left( f(\frac{k}{n}) - f(\frac{k-1}{n}) \right) = \frac{1}{n} (f(1) - f(0)) = \frac{1}{n}$。
公式：$\sum_{k=1}^n \left( f(\frac{k}{n}) - f(\frac{k-1}{n}) \right) = f(1) - f(0) = 1$
提示：裂项相消时注意首尾项，利用已知条件 $f(0)=0, f(1)=1$。
步骤 8/8
目标：利用 telescoping sum 完成证明
右边求和为 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( f(\frac{k}{n}) - f(\frac{k-1}{n}) \right) = \frac{1}{n} (f(1) - f(0)) = \frac{1}{n} (1 - 0) = \frac{1}{n}$。因此原不等式成立。
公式：$\sum_{k=1}^n \left( f(\frac{k}{n}) - f(\frac{k-1}{n}) \right) = f(1) - f(0) = 1$
提示：telescoping sum 的关键是相邻项相消，注意端点值已知。
步骤 9/9
目标：求和并利用端点值
将上述不等式求和：
$$
\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \left( f\left(\frac{k}{n}\right) - f\left(\frac{k-1}{n}\right) \right) = \frac{1}{n} \left( f(1) - f(0) \right) = \frac{1}{n}.
$$
故原不等式成立。
公式：\sum_{k=1}^n (f(\frac{k}{n})-f(\frac{k-1}{n})) = f(1)-f(0)=1
提示：裂项相消，注意 $f(0)=0, f(1)=1$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。