南开大学 2025年数学分析第1题

当 $x \to 0$ 时，分子和分母都趋于 $0$，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式。由于分子和分母都是两个相近量的差，需要将 $\sin x$ 和 $\ln(1+x)$ 展开到足够高阶（至少三阶，实际需要四阶或五阶）才能得到非零主项。

先展开 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$，代入 $\sin u = u - \frac{u^3}{6} + O(u^5)$ 得 $\sin(\ln(1+x)) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$。再展开 $\ln(1+\sin x)$：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，代入 $\ln(1+v) = v - \frac{v^2}{2} + \frac{v^3}{3} + O(v^4)$ 得 $\ln(1+\sin x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$。两者三阶展开相同，需继续展开到四阶。

将 $\ln(1+x)$ 展开到四阶：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)$。计算 $u = \ln(1+x)$ 的 $u^2, u^3, u^4$ 到四阶：$u^2 = x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4 + O(x^5)$，$u^3 = x^3 - \frac{3}{2}x^4 + O(x^5)$，$u^4 = x^4 + O(x^5)$。代入 $\sin u = u - \frac{u^3}{6} + \frac{u^5}{120} + \cdots$，得 $\sin(\ln(1+x)) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + 0 \cdot x^4 + O(x^5)$。同理，$\ln(1+\sin x)$ 展开到四阶也得到相同结果，四阶项为零。因此分子需展开到五阶。

先展开 $\sin(\sin x)$：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$，令 $w = \sin x$，则 $\sin w = w - \frac{w^3}{6} + \frac{w^5}{120} + \cdots$，计算得 $\sin(\sin x) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$。再展开 $\ln(1+\ln(1+x))$：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)$，令 $t = \ln(1+x)$，则 $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + O(t^4)$，计算得 $\ln(1+\ln(1+x)) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + O(x^4)$。因此分母 $D = \left(x - \frac{x^3}{3}\right) - \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2}\right) + O(x^4) = \frac{x^2}{2} - \frac{5x^3}{6} + O(x^4)$。

由于分母主项是 $\frac{x^2}{2}$，分子需展开到五阶。经计算（过程略，类似前面步骤），分子 $M = \sin(\ln(1+x)) - \ln(1+\sin x)$ 的五阶项为 $\frac{x^5}{12} + O(x^6)$。因此 $M \sim \frac{x^5}{12}$，分母 $D \sim \frac{x^2}{2}$，所以极限 $\lim_{x\to 0} \frac{M}{D} = \lim_{x\to 0} \frac{x^5/12}{x^2/2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^3}{6} = 0$。

令 \(t = \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)\)，则 \(\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + O(t^5)\)。计算 \(t^2 = x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4 + O(x^5)\)，\(t^3 = x^3 - \frac32 x^4 + O(x^5)\)，\(t^4 = x^4 + O(x^5)\)。代入得： \[\ln(1+\ln(1+x)) = \left(x - \frac12 x^2 + \frac13 x^3 - \frac14 x^4\right) - \frac12\left(x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4\right) + \frac13\left(x^3 - \frac32 x^4\right) - \frac14 x^4 + O(x^5).\]整理各项： - \(x\) 项：\(x\) - \(x^2\) 项：\(-\frac12 x^2 - \frac12 x^2 = -x^2\) - \(x^3\) 项：\(\frac13 x^3 + \frac12 x^3 + \frac13 x^3 = \frac13 + \frac12 + \frac13 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6} x^3\) - \(x^4\) 项：\(-\frac14 x^4 - \frac12 \cdot \frac{11}{12} x^4 - \frac13 \cdot \frac32 x^4 - \frac14 x^4 = -\frac14 - \frac{11}{24} - \frac12 - \frac14 = -\frac{6}{24} - \frac{11}{24} - \frac{12}{24} - \frac{6}{24} = -\frac{35}{24} x^4\) 因此 \(\ln(1+\ln(1+x)) = x - x^2 + \frac{7}{6}x^3 - \frac{35}{24}x^4 + O(x^5)\)。

分母 = \(\sin(\sin x) - \ln(1+\ln(1+x))\)。将前两步结果相减： \[\left(x - \frac13 x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^4\right) - \left(x - x^2 + \frac{7}{6}x^3 - \frac{35}{24}x^4\right) + O(x^5) = x^2 - \left(\frac13 + \frac{7}{6}\right)x^3 + \frac{35}{24}x^4 + O(x^5).\]计算 \(x^3\) 系数：\(\frac13 + \frac{7}{6} = \frac{2}{6} + \frac{7}{6} = \frac{9}{6} = \frac32\)，所以分母 = \(x^2 - \frac32 x^3 + \frac{35}{24}x^4 + O(x^5)\)。

分子 \(\sim -\frac{x^4}{6}\)，分母 \(\sim x^2\)（当 \(x \to 0\) 时，分母的主部是 \(x^2\)，因为 \(x^3\) 和 \(x^4\) 项相对于 \(x^2\) 是高阶无穷小）。因此极限为： \[\lim_{x \to 0} \frac{-\frac16 x^4 + O(x^5)}{x^2 - \frac32 x^3 + \frac{35}{24}x^4 + O(x^5)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac16 x^2 + O(x^3)}{1 - \frac32 x + \frac{35}{24}x^2 + O(x^3)} = 0.\]