📝 南开大学 2025年数学分析真题

1．（25分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\ln (1+x))-\ln (1+\sin x)}{\sin (\sin x)-\ln (1+\ln (1+x))}$ ．

2、（25 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处连续，在 $\displaystyle x_{0}$ 的去心邻域内二阶可导且二阶导函数有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处左右导数都存在．

3、（25 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, ~ g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$上可积，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(n x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x$ ．

4、（20分）设 $\displaystyle f:(a, b) \rightarrow(a, b)$ 满足对 $\displaystyle \forall x, y$ ध $\displaystyle (a, b)$ ，当 $\displaystyle x \neq y$ 时，有

$$
|f(x)-f(y)|<|x-y|,
$$

任取 $\displaystyle x_{1} \in(a, b)$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right),(n=1,2, \cdots)$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 收玫．

5、（20 分）设定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，对任意满足 $\displaystyle a_{n}<0<b_{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}=0$ 的点列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{f\left(b_{n}\right)-f\left(a_{n}\right)}{b_{n}-a_{n}^{-} \text {都存在，证明：函数 } f(x) \text { 在 } x=0 \text { 处可微．}}$

6、（20 分）设 $\displaystyle f(x)=\arctan (\sin x), x_{1}=\frac{1}{2}$ ，令

$$
x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots
$$

讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}{ }^{2}$ 的玫散性．

7、（15 分）求重积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(e^{y}+e^{-y}\right) \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．