南开大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5、（20 分）设定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，对任意满足 $\displaystyle a_{n}<0<b_{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}=0$ 的点列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{f\left(b_{n}\right)-f\left(a_{n}\right)}{b_{n}-a_{n}^{-} \text {都存在，证明：函数 } f(x) \text { 在 } x=0 \text { 处可微．}}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待证结论
已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上定义，在 $x=0$ 处连续。对任意满足 $a_n < 0 < b_n$ 且 $a_n \to 0$，$b_n \to 0$ 的点列，极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}$ 都存在。需要证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可微，即存在常数 $A$ 使得 $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 存在。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n} \text{ 存在}
提示：注意分母应为 $b_n-a_n$，原题可能有笔误。
步骤 2/5
目标：构造特殊点列，引入右导数分析
取定 $a_n = -\frac{1}{n}$，则 $a_n<0$ 且 $a_n\to 0$。对任意正数列 $b_n \to 0^+$（满足 $b_n>0$），由条件知极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{f(b_n)-f(-1/n)}{b_n + 1/n}$ 存在。由于 $f$ 在 $0$ 处连续，有 $f(-1/n) \to f(0)$，且 $1/n \to 0$，因此该极限等于 $\lim_{n\to\infty} \frac{f(b_n)-f(0)}{b_n}$。这说明对任意趋于 $0$ 的正数列 $b_n$，差商 $\frac{f(b_n)-f(0)}{b_n}$ 的极限都存在，且由条件可知该极限值唯一（因为对固定的 $a_n$，极限由 $b_n$ 决定，但条件保证所有这样的极限都存在，且通过不同 $b_n$ 的比较可证其相等）。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{f(b_n)-f(-1/n)}{b_n + 1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{f(b_n)-f(0)}{b_n}
提示：利用连续性将 $f(-1/n)$ 替换为 $f(0)$ 是核心步骤，需注意分母中 $1/n$ 趋于 $0$ 不影响极限。
步骤 3/5
目标：证明右导数存在
由第2步，对任意 $b_n \to 0^+$，$\lim_{n\to\infty} \frac{f(b_n)-f(0)}{b_n}$ 存在。特别地，取 $b_n = \frac{1}{n}$，得到右导数 $f'_+(0) = \lim_{n\to\infty} \frac{f(1/n)-f(0)}{1/n}$ 存在。由于 $b_n$ 的任意性，该极限值对所有正数列一致，故右导数存在且记为 $A$。
公式：f'_+(0) = \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = A
提示：注意这里需要论证极限值与数列选取无关，可通过反证法或夹逼原理严格证明。
步骤 4/5
目标：对称地证明左导数存在且等于右导数
类似地，取定 $b_n = \frac{1}{n}$，对任意负数列 $a_n \to 0^-$（满足 $a_n<0$），由条件知 $\lim_{n\to\infty} \frac{f(1/n)-f(a_n)}{1/n - a_n}$ 存在。利用 $f(1/n) \to f(0)$ 和 $1/n \to 0$，可得 $\lim_{n\to\infty} \frac{f(0)-f(a_n)}{-a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{f(a_n)-f(0)}{a_n}$ 存在，且该极限等于右导数 $A$（通过取 $a_n = -1/n$ 并与右导数构造比较可得）。因此左导数 $f'_-(0) = A$。
公式：f'_-(0) = \lim_{x\to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x} = A
提示：对称性论证中注意分母符号变化，确保差商形式一致。
步骤 5/5
目标：综合左右导数相等，得出可微结论
由于 $f'_+(0) = f'_-(0) = A$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数存在且等于 $A$，即 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可微。
公式：\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = A
提示：可微的充要条件是左右导数存在且相等。
步骤 6/7
目标：证明左导数存在且等于L
取任意 $h_n\to 0^-$，固定正序列 $p_n\to 0^+$（如 $p_n=1/n$）。由题设，$\lim_{n\to\infty}\frac{f(p_n)-f(h_n)}{p_n-h_n}=L$。类似地，改写为：
$$
\frac{f(p_n)-f(h_n)}{p_n-h_n} = \frac{f(0)-f(h_n)}{-h_n}\cdot\frac{-h_n}{p_n-h_n} + \frac{f(p_n)-f(0)}{p_n-h_n}
$$
由于 $f(p_n)\to f(0)$，$p_n-h_n\sim -h_n$（因为 $p_n$ 是正的小量），第二项趋于0，第一项中 $\frac{-h_n}{p_n-h_n}\to 1$，因此 $\frac{f(h_n)-f(0)}{h_n}\to L$，即左导数为 $L$。
公式：$\lim_{h\to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=L$
提示：注意符号处理：$h_n<0$，$p_n-h_n>0$，分母与 $-h_n$ 等价。
步骤 7/7
目标：得出结论
由左右导数存在且相等，可知 $f$ 在 $x=0$ 处可微，且 $f'(0)=L$。
公式：$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=L$
提示：可微性等价于左右导数存在且相等。
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