南开大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6、（20 分）设 $\displaystyle f(x)=\arctan (\sin x), x_{1}=\frac{1}{2}$ ，令
$$
x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots
$$
讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}{ }^{2}$ 的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数性质与迭代趋势
给定函数 $f(x)=\arctan(\sin x)$，初始值 $x_1=\frac12$。考虑 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近的展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，$\arctan y = y - \frac{y^3}{3} + O(y^5)$，代入得 $f(x) = x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)$。这表明当 $x$ 很小时，$f(x) \approx x - \frac{x^3}{2}$，迭代会使绝对值减小。
公式：$f(x) = x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)$
提示：注意展开到三阶，因为一阶近似 $f(x)\approx x$ 不足以判断衰减速度。
步骤 2/5
目标：判断数列是否趋于0
由于 $x_1=0.5>0$，且对 $x>0$ 有 $0<\sin x < x$，$\arctan y < y$，故 $0
公式：$x_{n+1} = \arctan(\sin x_n) < \sin x_n < x_n$
提示：需验证 $x_n$ 始终为正，避免符号问题。
步骤 3/5
目标：估计衰减速度
由展开式 $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3}{2}+O(x_n^5)$，平方得 $x_{n+1}^2 = x_n^2 - x_n^4 + O(x_n^6)$。取倒数：$\frac{1}{x_{n+1}^2} = \frac{1}{x_n^2(1-x_n^2+O(x_n^4))} = \frac{1}{x_n^2}(1+x_n^2+O(x_n^4))$，因此 $\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2} \to 1$（当 $n\to\infty$）。这说明 $\frac{1}{x_n^2} \sim n$，即 $x_n^2 \sim \frac{1}{n}$。
公式：$\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2} \to 1$
提示：忽略高阶项时需谨慎，但极限行为由主项决定。
步骤 4/5
目标：判断级数收敛性
由 $x_n^2 \sim \frac{1}{n}$，级数 $\sum_{n=1}^\infty x_n^2$ 与调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 同阶，而调和级数发散，故原级数发散。
公式：$\sum_{n=1}^\infty x_n^2 \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 发散
提示：比较判别法：若 $x_n^2 \sim \frac{1}{n}$，则级数发散。
步骤 5/5
目标：严格化论证
存在常数 $c>0$ 使得对充分大的 $n$，有 $x_{n+1}^2 \ge x_n^2 - c x_n^4$，从而 $\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2} \ge \frac{c}{1+c x_n^2} > 0$，故 $\frac{1}{x_n^2}$ 线性增长，即 $x_n^2 \ge \frac{K}{n}$，级数发散。
公式：$\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2} \ge \delta > 0$
提示：严格化需利用泰勒展开的余项估计，确保不等式成立。
步骤 6/6
目标：总结结论
数列 $x_n$ 单调递减趋于 $0$，且 $x_n^2 \sim 1/n$，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^2$ 发散。
公式：级数发散
提示：最终答案：发散。
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