南开大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2、（25 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处连续，在 $\displaystyle x_{0}$ 的去心邻域内二阶可导且二阶导函数有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处左右导数都存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和证明目标
已知：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的去心邻域内二阶可导且二阶导函数 $f''(x)$ 有界。要证明 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左右导数都存在（即单侧导数有限）。
提示：注意区分连续与可导的条件，这里只保证连续，未假设一阶导存在。
步骤 2/6
目标：将右导数问题转化为一阶导数的极限问题
考虑右导数：$\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。对于任意 $x > x_0$ 且足够接近 $x_0$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_x \in (x_0, x)$ 使得 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(\xi_x)$。因此只需证明 $\lim_{x \to x_0^+} f'(\xi_x)$ 存在，即 $\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$ 存在。
公式：\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(\xi_x), \quad \xi_x \in (x_0, x)
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里由二阶可导保证一阶可导，且连续性由已知条件保证。
步骤 3/6
目标：利用二阶导有界性推导一阶导的Lipschitz条件
设存在常数 $M > 0$ 和 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$|f''(x)| \le M$。取任意 $u, v$ 满足 $x_0 < u < v < x_0 + \delta$，由拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (u, v)$ 使得 $f'(v) - f'(u) = f''(\eta)(v-u)$，于是 $|f'(v) - f'(u)| \le M |v-u|$。这说明 $f'(x)$ 在 $(x_0, x_0+\delta)$ 上满足Lipschitz条件，从而一致连续。
公式：|f'(v)-f'(u)| \le M |v-u|
提示：Lipschitz条件蕴含一致连续性，这是后续使用柯西收敛准则的关键。
步骤 4/6
目标：证明右导数存在
由于 $f'(x)$ 在 $(x_0, x_0+\delta)$ 上一致连续，根据柯西收敛准则，当 $x \to x_0^+$ 时，$f'(x)$ 存在极限，记为 $L_+$。又因为 $\xi_x \to x_0^+$，所以 $\lim_{x \to x_0^+} f'(\xi_x) = L_+$。因此右导数 $f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = L_+$ 存在且有限。
公式：f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} f'(\xi_x) = L_+
提示：一致连续函数在区间端点极限存在的证明常用柯西列方法：对任意趋于 $x_0^+$ 的序列，函数值构成柯西列。
步骤 5/6
目标：类似证明左导数存在
对于左导数，考虑 $x < x_0$ 且足够接近 $x_0$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_x \in (x, x_0)$ 使得 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(\xi_x)$。同样，由二阶导有界可得 $f'(x)$ 在 $(x_0-\delta, x_0)$ 上满足Lipschitz条件，从而一致连续，故 $\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$ 存在，记为 $L_-$。因此左导数 $f'_-(x_0) = L_-$ 存在且有限。
公式：f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} f'(\xi_x) = L_-
提示：左导数证明完全对称，注意区间方向。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，在给定条件下，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左右导数都存在且有限。
提示：本题未要求左右导数相等，因此仅需证明存在性。
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