南开大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、（25 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, ~ g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$上可积，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(n x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论，引入记号
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$；$g(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积。要证明：
$$\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 f(nx)g(x)\,dx = A\int_0^1 g(x)\,dx.$$
记 $I_n = \int_0^1 f(nx)g(x)\,dx$，$I = A\int_0^1 g(x)\,dx$，则需证 $I_n - I \to 0$。
公式：I_n = \int_0^1 f(nx)g(x)\,dx,\quad I = A\int_0^1 g(x)\,dx
提示：注意 $f(nx)$ 中 $n$ 在自变量内部，当 $n$ 很大时，$nx$ 对大多数 $x>0$ 趋于无穷大。
步骤 2/6
目标：将差值转化为误差积分形式
计算差值：
$$I_n - I = \int_0^1 f(nx)g(x)\,dx - A\int_0^1 g(x)\,dx = \int_0^1 \big(f(nx)-A\big)g(x)\,dx.$$
因此只需证明 $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 (f(nx)-A)g(x)\,dx = 0$。
公式：I_n - I = \int_0^1 (f(nx)-A)g(x)\,dx
提示：线性性质将常数 $A$ 移入积分内部，便于利用 $f(nx)$ 接近 $A$ 的性质。
步骤 3/6
目标：利用极限定义分段估计
由 $\lim_{t\to+\infty}f(t)=A$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，当 $t>M$ 时 $|f(t)-A|<\varepsilon$。
将积分区间 $[0,1]$ 分为 $[0, M/n]$ 和 $[M/n, 1]$ 两段。在 $[M/n,1]$ 上，$nx \ge M$，故 $|f(nx)-A|<\varepsilon$。
公式：\forall\varepsilon>0,\exists M>0,\forall t>M:|f(t)-A|<\varepsilon
提示：分段的关键是找到 $M$，使得 $nx>M$ 时误差可控。
步骤 4/6
目标：估计第二部分（$[M/n,1]$）的积分
在 $[M/n,1]$ 上，$|f(nx)-A|<\varepsilon$，因此
$$\left|\int_{M/n}^1 (f(nx)-A)g(x)\,dx\right| \le \varepsilon \int_{M/n}^1 |g(x)|\,dx \le \varepsilon \int_0^1 |g(x)|\,dx.$$
记 $C = \int_0^1 |g(x)|\,dx$（有限常数），则此部分不超过 $\varepsilon C$。
公式：\left|\int_{M/n}^1 (f(nx)-A)g(x)\,dx\right| \le \varepsilon C
提示：这里用到了 $g$ 可积则 $|g|$ 也可积，且积分值有限。
步骤 5/6
目标：估计第一部分（$[0,M/n]$）的积分
由于 $f$ 在 $[0,M]$ 上连续，故有界，设 $|f(t)|\le K$ 对 $t\in[0,M]$，则 $|f(nx)-A|\le K+|A|$，记 $L=K+|A|$。于是
$$\left|\int_0^{M/n} (f(nx)-A)g(x)\,dx\right| \le L \int_0^{M/n} |g(x)|\,dx.$$
由 $g$ 可积，其不定积分绝对连续：存在 $\delta>0$，当区间长度 $<\delta$ 时，$\int_0^{M/n}|g|\,dx<\varepsilon$。取 $n$ 充分大使 $M/n<\delta$，则此部分不超过 $L\varepsilon$。
公式：\left|\int_0^{M/n} (f(nx)-A)g(x)\,dx\right| \le L\varepsilon
提示：注意 $f$ 在有限区间上的有界性来自连续性，而 $g$ 的绝对连续性需单独论证。
步骤 6/6
目标：合并估计并取极限
对任意 $\varepsilon>0$，取 $n$ 足够大，使得上述两段估计同时成立，则
$$|I_n - I| \le L\varepsilon + \varepsilon C = (L+C)\varepsilon.$$
由于 $\varepsilon$ 任意小，故 $\lim_{n\to\infty} I_n = I$，即原极限等式成立。
公式：|I_n - I| \le (L+C)\varepsilon \Rightarrow \lim_{n\to\infty} I_n = I
提示：最终结论依赖于 $\varepsilon$ 的任意性，注意 $L$ 和 $C$ 是与 $n$ 无关的常数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。