南开大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2、设 $L$ 为闭区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, x^{3} \leq y \leq \sqrt[3]{x}\right\}$ 的边界，取逆时针方向，计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L}\left(x^{3} y+e^{y}+\ln \left(e^{x}+e^{y}\right)\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-2 y+x y^{3}+x e^{y}\right) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确认格林公式条件
曲线积分 $I = \int_L P\,dx + Q\,dy$，其中 $P = x^3 y + e^y + \ln(e^x + e^y)$，$Q = 2x - 2y + x y^3 + x e^y$。区域 $D$ 为 $0 \le x \le 1$，$x^3 \le y \le \sqrt[3]{x}$，边界 $L$ 取逆时针方向。$P$ 和 $Q$ 在 $D$ 上连续可微，满足格林公式条件。
公式：格林公式：$\oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy$
提示：使用格林公式前，需检查 $P$、$Q$ 在闭区域上是否连续可微，以及 $L$ 的方向是否为正向（逆时针）。
步骤 2/7
目标：计算偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：$Q = 2x - 2y + x y^3 + x e^y$，对 $x$ 求偏导得 $\frac{\partial Q}{\partial x} = 2 + y^3 + e^y$。
计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$：$P = x^3 y + e^y + \ln(e^x + e^y)$，对 $y$ 求偏导得 $\frac{\partial P}{\partial y} = x^3 + e^y + \frac{e^y}{e^x + e^y}$。
公式：$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2 + y^3 + e^y$，$\frac{\partial P}{\partial y} = x^3 + e^y + \frac{e^y}{e^x + e^y}$
提示：求偏导时注意 $\ln(e^x + e^y)$ 对 $y$ 的导数为 $\frac{e^y}{e^x + e^y}$，不要遗漏。
步骤 3/7
目标：求被积函数差并转化为二重积分
计算差：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2 + y^3 + e^y) - \left( x^3 + e^y + \frac{e^y}{e^x + e^y} \right) = 2 + y^3 - x^3 - \frac{e^y}{e^x + e^y}$。
因此 $I = \iint_D \left( 2 + y^3 - x^3 - \frac{e^y}{e^x + e^y} \right) dx\,dy$。
公式：$I = \iint_D \left( 2 + y^3 - x^3 - \frac{e^y}{e^x + e^y} \right) dx\,dy$
提示：注意 $e^y$ 项抵消，简化了表达式。
步骤 4/7
目标：分析区域 $D$ 的对称性
区域 $D$ 由 $0 \le x \le 1$，$x^3 \le y \le \sqrt[3]{x}$ 描述。曲线 $y = x^3$ 与 $y = x^{1/3}$ 关于直线 $y = x$ 对称，因此 $D$ 关于 $y = x$ 对称。
公式：无
提示：对称性可简化积分计算，注意被积函数在对称变换下的行为。
步骤 5/7
目标：利用对称性消去 $y^3 - x^3$ 项
考虑积分 $\iint_D (y^3 - x^3) dx\,dy$。由于区域 $D$ 关于 $y = x$ 对称，交换 $x$ 和 $y$ 后，被积函数变为 $x^3 - y^3 = -(y^3 - x^3)$，因此该积分为 $0$。
于是 $I = \iint_D \left( 2 - \frac{e^y}{e^x + e^y} \right) dx\,dy$。
公式：$\iint_D (y^3 - x^3) dx\,dy = 0$
提示：对称性论证需严谨，也可通过直接计算验证。
步骤 6/7
目标：计算常数部分和含 $\frac{e^y}{e^x + e^y}$ 的积分
先计算常数部分：$\iint_D 2\,dx\,dy = 2 \times \text{面积}(D)$。
面积：$\text{面积}(D) = \int_0^1 (x^{1/3} - x^3) dx = \left[ \frac{3}{4} x^{4/3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，所以常数部分贡献 $2 \times \frac{1}{2} = 1$。
再计算 $J = \iint_D \frac{e^y}{e^x + e^y} dx\,dy$。由对称性，交换 $x$ 和 $y$ 得 $J = \iint_D \frac{e^x}{e^x + e^y} dx\,dy$。两式相加得 $2J = \iint_D 1\,dx\,dy = \frac{1}{2}$，所以 $J = \frac{1}{4}$。
公式：$\text{面积}(D) = \frac{1}{2}$，$\iint_D \frac{e^y}{e^x + e^y} dx\,dy = \frac{1}{4}$
提示：计算面积时注意积分上下限；对称性求和技巧常用于处理形如 $\frac{f(x)}{f(x)+f(y)}$ 的积分。
步骤 7/7
目标：合并结果得到最终答案
将各部分结果代入：$I = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。
公式：$I = \frac{3}{4}$
提示：最终答案需化简为最简分数。
步骤 8/8
目标：求和得到最终结果
三部分相加：$I=1+0-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
公式：$I=\frac{3}{4}$
提示：最终答案化简为最简分数。
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