南开大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6、【版本 1】：设数列 $\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lambda_{n} \in\left(\frac{1}{e},+\infty\right),(n=1,2, \cdots)$ ，且
$$
\varliminf_{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}>\frac{1}{e} \text {, 令 } f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\lambda_{n} e^{f_{n-1}(x)},(=1,2, \cdots) \text {. }
$$
证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x)=+\infty$ ．
【版本 2】：设数列 $\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lambda_{n} \in\left(\frac{1}{e},+\infty\right),\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)$且 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}>\frac{1}{e}$ ，令
$$
f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\lambda_{n} e^{f_{n-1}(x)},(=1,2, \cdots)
$$
证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x)=+\infty$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析条件，提取下界常数
由 $\varliminf_{n \to \infty} \lambda_n > \frac{1}{e}$，存在 $\delta > 0$ 和正整数 $N$，使得当 $n \ge N$ 时，$\lambda_n \ge \frac{1}{e} + \delta$。记 $c = \frac{1}{e} + \delta > \frac{1}{e}$。
公式：$c = \frac{1}{e} + \delta > \frac{1}{e}$
提示：注意下极限的定义：存在一个足够大的下标之后的所有项都大于某个大于1/e的常数。
步骤 2/6
目标：建立递推关系并取对数
由定义 $f_n(x) = \lambda_n e^{f_{n-1}(x)}$，两边取自然对数得 $\ln f_n(x) = \ln \lambda_n + f_{n-1}(x)$。因此 $f_n(x) = e^{f_{n-1}(x) + \ln \lambda_n}$。
公式：$\ln f_n = \ln \lambda_n + f_{n-1}$
提示：取对数是处理指数迭代的常用技巧。
步骤 3/6
目标：证明数列从某项开始严格递增
考虑函数 $g(t) = e^{t + \ln c} - t$，其中 $c > \frac{1}{e}$。由于函数 $h(t) = t e^{-t}$ 的最大值为 $\frac{1}{e}$，方程 $c e^t = t$ 无实数解，故对任意实数 $t$ 有 $c e^t > t$。因此当 $n \ge N$ 时，$\lambda_n \ge c$，从而 $f_n = \lambda_n e^{f_{n-1}} \ge c e^{f_{n-1}} > f_{n-1}$。即数列从第 $N$ 项开始严格递增。
公式：$c e^{f_{n-1}} > f_{n-1}$
提示：关键是比较 $c e^t$ 与 $t$ 的大小，利用函数 $t e^{-t}$ 的最大值性质。
步骤 4/6
目标：反证法证明数列无上界
假设数列 $\{f_n\}$ 有上界，则由单调递增性知存在有限极限 $L$。对递推式取极限（考虑 $n \ge N$ 时 $\lambda_n \ge c$），得 $L = \lim f_n = \lim \lambda_n e^{f_{n-1}} \ge c e^{L}$，即 $L e^{-L} \ge c$。但函数 $\phi(L) = L e^{-L}$ 在 $L>0$ 上的最大值为 $\frac{1}{e}$，而 $c > \frac{1}{e}$，矛盾。故假设不成立，数列无上界。
公式：$L \ge c e^{L} \Rightarrow L e^{-L} \ge c$
提示：注意 $\phi(L)$ 的最大值在 $L=1$ 处取得，值为 $1/e$。
步骤 5/6
目标：得出结论
数列 $\{f_n(x)\}$ 从某项起严格递增且无上界，因此对任意 $x>0$，有 $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = +\infty$。
公式：$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = +\infty$
提示：单调递增且无上界是发散到正无穷的充分条件。
步骤 6/6
目标：版本2的证明思路说明
版本2的条件是 $\varlimsup_{n \to \infty} \lambda_n > \frac{1}{e}$，即存在子列 $\{\lambda_{n_k}\}$ 满足 $\lambda_{n_k} \ge c > \frac{1}{e}$。对于该子列，可类似证明 $f_{n_k}(x) \to +\infty$。由于 $f_n(x)$ 每一步都是正数且指数增长，中间较小的 $\lambda$ 无法阻止整体趋势，从而整个序列也趋于 $+\infty$。
公式：$\varlimsup_{n \to \infty} \lambda_n > \frac{1}{e}$
提示：上极限条件只保证存在一个子列有下界，需利用子列的跳跃性证明整体无界。
步骤 7/7
目标：综合结论
对任意 $x>0$，在版本1或版本2的条件下，均有 $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = +\infty$。
公式：$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=+\infty$
提示：注意 $x>0$ 是任意的，初始值不影响最终发散性。
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