南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n+1}}{2^{n}(2 n+1)!} \mathrm{d} t-\frac{x^{2}}{2}}{x\left(\sqrt[3]{1+x}+e^{x}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别级数并求和函数
观察级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n+1}}{2^{n}(2 n+1)!}$，将其与正弦函数的泰勒展开 $\sin t = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 对比。注意到 $\frac{t^{2n+1}}{2^n} = \sqrt{2} \cdot \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^{2n+1}$，因此级数等于 $\sqrt{2} \sin\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)$。
公式：\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n+1}}{2^{n}(2 n+1)!} = \sqrt{2} \sin\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)
提示：注意系数调整：分母中的 $2^n$ 对应将自变量缩放为 $t/\sqrt{2}$，并乘以 $\sqrt{2}$ 保持等式成立。
步骤 2/5
目标：计算积分
计算 $\int_0^x \sqrt{2} \sin\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \mathrm{d}t$。由 $\int \sin(at) \mathrm{d}t = -\frac{1}{a}\cos(at)$，这里 $a = 1/\sqrt{2}$，得 $\int \sqrt{2} \sin\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \mathrm{d}t = \sqrt{2} \cdot \left[-\sqrt{2} \cos\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right] = -2 \cos\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)$。代入上下限得 $\left[-2 \cos\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right]_0^x = 2 - 2\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$。
公式：\int_0^x \sqrt{2} \sin\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \mathrm{d}t = 2 - 2\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)
提示：积分时注意常数因子和上下限代入的正确性。
步骤 3/5
目标：化简分子并展开为幂级数
分子为 $\left[2 - 2\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right] - \frac{x^2}{2}$。将 $\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$ 在 $x=0$ 处展开：$\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = 1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{96} + O(x^6)$。于是 $2 - 2\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{48} + O(x^6)$。减去 $\frac{x^2}{2}$ 得分子为 $-\frac{x^4}{48} + O(x^6)$。
公式：2 - 2\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) - \frac{x^2}{2} = -\frac{x^4}{48} + O(x^6)
提示：展开到 $x^4$ 项即可，因为分母最低阶为 $x$，分子 $x^4$ 将导致极限为0。
步骤 4/5
目标：展开分母并化简
分母为 $x\left(\sqrt[3]{1+x} + e^x\right)$。展开 $\sqrt[3]{1+x} = (1+x)^{1/3} = 1 + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{9} + \frac{5x^3}{81} + O(x^4)$，$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$。相加得 $\sqrt[3]{1+x} + e^x = 2 + \frac{4}{3}x + \frac{7}{18}x^2 + O(x^3)$。乘以 $x$ 得分母 $2x + \frac{4}{3}x^2 + \frac{7}{18}x^3 + O(x^4)$。
公式：x\left(\sqrt[3]{1+x} + e^x\right) = 2x + \frac{4}{3}x^2 + \frac{7}{18}x^3 + O(x^4)
提示：分母展开到 $x$ 的一次项即可，因为分子最低阶为 $x^4$，更高阶项不影响极限。
步骤 5/5
目标：求极限
将分子和分母的展开代入极限：$\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^4}{48} + O(x^6)}{2x + \frac{4}{3}x^2 + O(x^3)} = \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^3}{48} + O(x^5)}{2 + \frac{4}{3}x + O(x^2)} = 0$。因为分子趋于0，分母趋于非零常数2，故极限为0。
公式：\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^4}{48} + O(x^6)}{2x + O(x^2)} = 0
提示：注意分子分母同除以 $x$ 后，分子仍有 $x^3$ 因子，而分母趋于常数，故极限为0。
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