📝 南昌大学 2025年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n+1}}{2^{n}(2 n+1)!} \mathrm{d} t-\frac{x^{2}}{2}}{x\left(\sqrt[3]{1+x}+e^{x}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．

2． $\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

3、函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\ln \left(\cos \left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right)\right] x^{n}$ 收玫半径为 $\_\_\_\_$ ；

4、 $x+y+z+1=0$ 到椭球 $18 x^{2}+9 y^{2}+3 z^{2}=1$ 最近距离 $d=$ $\_\_\_\_$ ．

5、函数 $u(x, y, z)=x^{y} y^{z} z^{x}$ 的全微分 $\mathrm{d} u=$ $\_\_\_\_$ ．

6、由抛物面 $x^{2}+y^{2}=6-z$ ，坐标平面 $x O z, y O z$ 以及平面 $y=4 z$ ， $x=1, y=2$ 所围成的区域 $V$ 的体积为 $\_\_\_\_$ ．

七、（10 分）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \text { 为 }[0,1] \text { 中的所有有理数 } \\ 0, x \text { 为 }[0,1] \text { 中的所有无理数 }\end{array}\right.$ 不可积．

三、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty),(a>0)$ 上满足 Lipschitz 条件：即对任意的 $\displaystyle x, y \in[a,+\infty),(a>0)$ ，均成立不等式：
－$\displaystyle |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|$ ，其中 $k$ 为正的常数．
证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty),(a>0)$ 上一致连续．

九、（15 分）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}, x \in(0,+\infty)$ ．
（1）证明：该级数在 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 上收玫但不一致收玫．
（2）求该级数的和函数．

二、（10 分）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a,|q|<1$ ，用 $\displaystyle \varepsilon-N$ 方法证明：

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a_{n}+a_{n-1} q+a_{n-2} q^{2}+\cdots+a_{1} q^{n-1}\right)=\frac{a}{1-q}
$$

五、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，求证：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，对任给的 $\displaystyle \delta>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．

八、（15 分）设周期 $\displaystyle 2 \pi$ 的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上由

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\pi-x, 0<x \leq \pi \\
0, x=0 \\
-\pi-x,-\pi<x<0
\end{array}\right.
$$

给出．
（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数．
（2）证明（1）中的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，但不一致收敛．

六、（10 分）证明无穷积分的阿贝尔判别法，即若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫．

十、（15分）求 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}\left(2+x^{3}\right)} \mathrm{d} x$ 的连续区间．

十一、（15 分）计算第一型曲面积分

$$
I=\iint_{\Sigma}\left(x^{2} \cos (\vec{n}, x)+y^{2} \cos (\vec{n}, y)+z^{2} \cos (\vec{n}, z)\right) \mathrm{d} S
$$

其中 $\displaystyle \Sigma: x^{2}+y^{2}=z^{2},(0 \leq z \leq h)$ 取下侧，且 $\displaystyle \vec{n}$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 的外法向量．

四、（10分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上成立：

$$
|f(x)| \leq 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 2 .
$$

证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq \mathbf{3}$ ．