南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6、由抛物面 $x^{2}+y^{2}=6-z$ ，坐标平面 $x O z, y O z$ 以及平面 $y=4 z$ ， $x=1, y=2$ 所围成的区域 $V$ 的体积为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解各个曲面的含义
抛物面：$x^{2}+y^{2}=6-z$ 可改写为 $z=6-x^{2}-y^{2}$，开口向下，顶点在 $(0,0,6)$。坐标平面 $xOz$ 即 $y=0$，$yOz$ 即 $x=0$。平面 $y=4z$ 是过 $y$ 轴的斜面，平面 $x=1$ 和 $y=2$ 是垂直于坐标轴的平面。
公式：z = 6 - x^2 - y^2, \quad y=0, \quad x=0, \quad y=4z, \quad x=1, \quad y=2
提示：注意区分坐标平面与一般平面，$xOz$ 平面是 $y=0$，不要混淆。
步骤 2/5
目标：确定积分区域与上下边界
区域 $V$ 由 $x=0$、$y=0$、$x=1$、$y=2$ 围成底面矩形，$z$ 的下边界由平面 $y=4z$ 给出，即 $z = y/4$；上边界由抛物面给出，即 $z = 6 - x^2 - y^2$。对于固定的 $(x,y)$，$z$ 从 $y/4$ 到 $6-x^2-y^2$。
公式：z_{\text{下}} = \frac{y}{4}, \quad z_{\text{上}} = 6 - x^2 - y^2
提示：需要验证在整个矩形区域 $0\le x\le1,\,0\le y\le2$ 上是否满足 $y/4 \le 6-x^2-y^2$，否则积分区域需修正。
步骤 3/5
目标：验证不等式条件并写出体积积分
在 $x=1,y=2$ 时，上边界为 $6-1-4=1$，下边界为 $2/4=0.5$，满足；在 $x=0,y=2$ 时，上边界为 $2$，下边界为 $0.5$，也满足。因此整个矩形区域均满足条件，体积积分可写为：
$$V = \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^2 \int_{z=y/4}^{6-x^2-y^2} dz\,dy\,dx$$
公式：V = \int_0^1 \int_0^2 \left(6 - x^2 - y^2 - \frac{y}{4}\right) dy\,dx
提示：先对 $z$ 积分时，被积函数为 $1$，积分结果即为上下边界之差。
步骤 4/5
目标：先对 $y$ 积分
计算内层积分：
$$\int_{y=0}^2 \left(6 - x^2 - y^2 - \frac{y}{4}\right) dy$$
分别积分：
$\int_0^2 6\,dy = 12$，$\int_0^2 x^2\,dy = 2x^2$，$\int_0^2 y^2\,dy = \frac{8}{3}$，$\int_0^2 \frac{y}{4}\,dy = \frac{1}{4}\cdot\frac{2^2}{2} = \frac{1}{2}$。
合并得：
$$12 - 2x^2 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} = \frac{53}{6} - 2x^2$$
公式：\int_0^2 y^2\,dy = \frac{8}{3}, \quad \int_0^2 \frac{y}{4}\,dy = \frac{1}{2}
提示：计算 $\int_0^2 \frac{y}{4}dy$ 时注意系数，结果为 $\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{2}=\frac{1}{2}$，不要算错。
步骤 5/5
目标：对 $x$ 积分得到体积
将上一步结果对 $x$ 积分：
$$V = \int_0^1 \left(\frac{53}{6} - 2x^2\right) dx$$
计算得：
$$\frac{53}{6}\cdot 1 - 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{53}{6} - \frac{2}{3} = \frac{53}{6} - \frac{4}{6} = \frac{49}{6}$$
公式：\int_0^1 2x^2\,dx = \frac{2}{3}
提示：通分时注意 $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$，最终结果化简为 $\frac{49}{6}$。
步骤 6/7
目标：再对y积分
对$y$从0到2积分：$\int_0^2 \left(\frac{17}{3} - y^2 - \frac{y}{4}\right) dy = \left[\frac{17}{3}y - \frac{y^3}{3} - \frac{y^2}{8}\right]_0^2$。代入$y=2$得：$\frac{34}{3} - \frac{8}{3} - \frac{4}{8} = \frac{26}{3} - \frac{1}{2} = \frac{52}{6} - \frac{3}{6} = \frac{49}{6}$。
公式：\int_0^2 \left(\frac{17}{3} - y^2 - \frac{y}{4}\right) dy = \frac{49}{6}
提示：计算分数时注意通分，避免算术错误。
步骤 7/7
目标：得出最终体积结果
经过二重积分计算，所求区域$V$的体积为$\frac{49}{6}$。
公式：V = \frac{49}{6}
提示：最终答案应化为最简分数。
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