南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、函数 $u(x, y, z)=x^{y} y^{z} z^{x}$ 的全微分 $\mathrm{d} u=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：取自然对数简化函数
令 $u(x,y,z)=x^{y} y^{z} z^{x}$，两边取自然对数得：
\[
\ln u = y \ln x + z \ln y + x \ln z
\]
公式：\ln u = y \ln x + z \ln y + x \ln z
提示：幂指函数取对数后转化为乘积形式，便于求偏导。
步骤 2/3
目标：对等式两边求全微分
左边：$\mathrm{d}(\ln u) = \frac{1}{u} \mathrm{d}u$。
右边对 $x,y,z$ 分别求偏导：
\[
\frac{\partial (\ln u)}{\partial x} = \frac{y}{x} + \ln z,
\quad \frac{\partial (\ln u)}{\partial y} = \ln x + \frac{z}{y},
\quad \frac{\partial (\ln u)}{\partial z} = \ln y + \frac{x}{z}
\]
公式：\frac{1}{u} \mathrm{d}u = \left(\frac{y}{x} + \ln z\right) \mathrm{d}x + \left(\ln x + \frac{z}{y}\right) \mathrm{d}y + \left(\ln y + \frac{x}{z}\right) \mathrm{d}z
提示：注意 $x$ 出现在 $y\ln x$ 和 $x\ln z$ 两项中，求偏导时不要遗漏。
步骤 3/3
目标：整理得到全微分表达式
两边乘以 $u$，并代回 $u = x^{y} y^{z} z^{x}$：
\[
\mathrm{d}u = x^{y} y^{z} z^{x} \left[ \left(\frac{y}{x} + \ln z\right) \mathrm{d}x + \left(\ln x + \frac{z}{y}\right) \mathrm{d}y + \left(\ln y + \frac{x}{z}\right) \mathrm{d}z \right]
\]
公式：\mathrm{d}u = x^{y} y^{z} z^{x} \left[ \left(\frac{y}{x} + \ln z\right) \mathrm{d}x + \left(\ln x + \frac{z}{y}\right) \mathrm{d}y + \left(\ln y + \frac{x}{z}\right) \mathrm{d}z \right]
提示：最终结果中 $u$ 不要忘记乘回去，且微分形式要写完整。
步骤 4/6
目标：求关于 y 的偏导数
将 x, z 视为常数，对 \(\ln u\) 关于 y 求偏导：
\[ \frac{1}{u} \frac{\partial u}{\partial y} = \ln x + \frac{z}{y} + 0 \]
因此：
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = u \left( \ln x + \frac{z}{y} \right) = x^{y} y^{z} z^{x} \left( \ln x + \frac{z}{y} \right) \]
公式：\frac{\partial u}{\partial y} = u \left( \ln x + \frac{z}{y} \right)
提示：注意 \(\ln x\) 对 y 是常数，\(\frac{\partial}{\partial y}(z \ln y) = \frac{z}{y}\)。
步骤 5/6
目标：求关于 z 的偏导数
将 x, y 视为常数，对 \(\ln u\) 关于 z 求偏导：
\[ \frac{1}{u} \frac{\partial u}{\partial z} = 0 + \ln y + \frac{x}{z} \]
因此：
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = u \left( \ln y + \frac{x}{z} \right) = x^{y} y^{z} z^{x} \left( \ln y + \frac{x}{z} \right) \]
公式：\frac{\partial u}{\partial z} = u \left( \ln y + \frac{x}{z} \right)
提示：注意 \(\ln y\) 对 z 是常数，\(\frac{\partial}{\partial z}(x \ln z) = \frac{x}{z}\)。
步骤 6/6
目标：组合成全微分形式
将三个偏导数代入全微分公式：
\[ \mathrm{d}u = \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{d}y + \frac{\partial u}{\partial z} \mathrm{d}z \]
\[ = x^{y} y^{z} z^{x} \left( \frac{y}{x} + \ln z \right) \mathrm{d}x + x^{y} y^{z} z^{x} \left( \ln x + \frac{z}{y} \right) \mathrm{d}y + x^{y} y^{z} z^{x} \left( \ln y + \frac{x}{z} \right) \mathrm{d}z \]
提取公因子 \( x^{y} y^{z} z^{x} \) 得到最终结果。
公式：\mathrm{d}u = x^{y} y^{z} z^{x} \left[ \left( \frac{y}{x} + \ln z \right) \mathrm{d}x + \left( \ln x + \frac{z}{y} \right) \mathrm{d}y + \left( \ln y + \frac{x}{z} \right) \mathrm{d}z \right]
提示：最终结果中括号内各项不要合并或化简过度，保持原样即可；注意微分符号 \(\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z\) 不要遗漏。
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