南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
十一、（15 分）计算第一型曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}\left(x^{2} \cos (\vec{n}, x)+y^{2} \cos (\vec{n}, y)+z^{2} \cos (\vec{n}, z)\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $\displaystyle \Sigma: x^{2}+y^{2}=z^{2},(0 \leq z \leq h)$ 取下侧，且 $\displaystyle \vec{n}$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 的外法向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目并转化为第二型曲面积分
曲面 $\Sigma: x^2+y^2=z^2, 0\le z\le h$ 取下侧，$\vec{n}$ 为外法向量。被积表达式 $x^2\cos(\vec{n},x)+y^2\cos(\vec{n},y)+z^2\cos(\vec{n},z)$ 可写成向量点积 $(x^2,y^2,z^2)\cdot\vec{n}$。利用第一型曲面积分与方向余弦的关系，转化为第二型曲面积分：
$$I=\iint_\Sigma x^2\,dy\,dz+y^2\,dz\,dx+z^2\,dx\,dy$$
方向由 $\vec{n}$ 决定，即圆锥面的下侧（外侧）。
公式：$$\iint_\Sigma (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,dS = \iint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$$
提示：注意方向余弦与第二型曲面积分的关系，这里 $P=x^2, Q=y^2, R=z^2$。
步骤 2/5
目标：补面构造封闭曲面，应用高斯公式
曲面 $\Sigma$ 不封闭，补上顶面 $\Sigma_2: z=h, x^2+y^2\le h^2$，取上侧（法向量向上）。底面 $z=0$ 退化为一点，面积为零，忽略。$\Sigma\cup\Sigma_2$ 构成封闭曲面，围成区域 $\Omega: 0\le z\le h, x^2+y^2\le z^2$。由高斯公式：
$$\iint_{\Sigma\cup\Sigma_2} x^2\,dy\,dz+y^2\,dz\,dx+z^2\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial x^2}{\partial x}+\frac{\partial y^2}{\partial y}+\frac{\partial z^2}{\partial z}\right)dV$$
计算散度：$2x+2y+2z=2(x+y+z)$。
公式：$$\oiint_{\partial\Omega} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$$
提示：补面时注意方向与封闭曲面外侧一致，底面面积为零可忽略。
步骤 3/5
目标：计算三重积分
使用柱坐标：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z$，区域 $0\le z\le h, 0\le r\le z, 0\le \theta\le 2\pi$，体积元 $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。
$$\iiint_\Omega 2(x+y+z)\,dV = 2\int_0^h\int_0^z\int_0^{2\pi} (r\cos\theta+r\sin\theta+z)\,r\,d\theta\,dr\,dz$$
先对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,\int_0^{2\pi}z\,d\theta=2\pi z$，得 $2\pi z$。
$$=2\int_0^h\int_0^z (2\pi z)\,r\,dr\,dz = 4\pi\int_0^h z\left(\int_0^z r\,dr\right)dz = 4\pi\int_0^h z\cdot\frac{z^2}{2}\,dz = 2\pi\int_0^h z^3\,dz = 2\pi\cdot\frac{h^4}{4} = \frac{\pi h^4}{2}$$
公式：$$\iiint_\Omega 2(x+y+z)\,dV = \frac{\pi h^4}{2}$$
提示：柱坐标下 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的周期积分为零，简化计算。
步骤 4/5
目标：计算顶面曲面积分并相减
顶面 $\Sigma_2: z=h, x^2+y^2\le h^2$，取上侧，法向量为 $(0,0,1)$。第二型曲面积分中只有 $z^2\,dx\,dy$ 项贡献：
$$\iint_{\Sigma_2} x^2\,dy\,dz+y^2\,dz\,dx+z^2\,dx\,dy = \iint_{x^2+y^2\le h^2} h^2\,dx\,dy = h^2\cdot\pi h^2 = \pi h^4$$
由封闭曲面积分结果：$\iint_\Sigma + \iint_{\Sigma_2} = \frac{\pi h^4}{2}$，所以
$$\iint_\Sigma = \frac{\pi h^4}{2} - \pi h^4 = -\frac{\pi h^4}{2}$$
公式：$$\iint_{\Sigma_2} z^2\,dx\,dy = \pi h^4$$
提示：顶面法向量向上，对应 $dx\,dy$ 项取正号；注意减去顶面贡献。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
原第一型曲面积分 $I$ 等于第二型曲面积分结果，因此
$$I = -\frac{\pi h^4}{2}$$
公式：$$\boxed{-\dfrac{\pi h^{4}}{2}}$$
提示：检查符号：圆锥面下侧对应外侧，结果负值合理。
步骤 6/8
目标：计算底面 $\Sigma_1$ 上的曲面积分
底面 $\Sigma_1: z=h, x^2+y^2\leq h^2$，取上侧，外法向量为 $\mathbf{n} = (0,0,1)$。则 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = z^2 = h^2$。面积元 $dS = dxdy$，所以
$$\iint_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_{x^2+y^2\leq h^2} h^2 \, dxdy = h^2 \cdot \pi h^2 = \pi h^4.$$
公式：\iint_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_{D} h^2 \, dxdy
提示：底面是平面，法向量恒定，积分简化为二重积分。
步骤 7/8
目标：由高斯公式解出原积分
由高斯公式：$\iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS + \iint_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_\Omega 2z \, dV = 2 \cdot \frac{\pi h^4}{4} = \frac{\pi h^4}{2}$。代入 $\iint_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \pi h^4$，得
$$\iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \frac{\pi h^4}{2} - \pi h^4 = -\frac{\pi h^4}{2}.$$
提示：注意移项时符号，原积分在锥面下侧，结果负值合理。
步骤 8/8
目标：写出最终答案
原积分 $I = -\dfrac{\pi h^4}{2}$。
提示：答案需化简并加框。
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