南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \int \frac{1}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：进行三角代换，消去根号
令 $x = \sin t$，其中 $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，则 $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$，且 $\mathrm{d}x = \cos t \, \mathrm{d}t$。代入原积分得：
$$\int \frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x = \int \frac{1}{1+\cos t} \cdot \cos t \, \mathrm{d}t = \int \frac{\cos t}{1+\cos t} \, \mathrm{d}t$$
公式：$x = \sin t$, $\sqrt{1-x^2} = \cos t$, $\mathrm{d}x = \cos t \, \mathrm{d}t$
提示：注意 $t$ 的取值范围要保证 $\cos t \geq 0$，以便开方后取正值。
步骤 2/5
目标：化简被积函数，拆分为简单积分
将 $\frac{\cos t}{1+\cos t}$ 改写为：
$$\frac{\cos t}{1+\cos t} = \frac{1+\cos t - 1}{1+\cos t} = 1 - \frac{1}{1+\cos t}$$
于是积分变为：
$$\int \left(1 - \frac{1}{1+\cos t}\right) \mathrm{d}t = \int 1 \, \mathrm{d}t - \int \frac{1}{1+\cos t} \, \mathrm{d}t$$
公式：$\frac{\cos t}{1+\cos t} = 1 - \frac{1}{1+\cos t}$
提示：这种加减常数拆分法是处理分式积分的常用技巧。
步骤 3/5
目标：利用半角公式处理 $\frac{1}{1+\cos t}$
由半角公式 $1+\cos t = 2\cos^2\frac{t}{2}$，得：
$$\frac{1}{1+\cos t} = \frac{1}{2} \sec^2\frac{t}{2}$$
因此积分化为：
$$\int 1 \, \mathrm{d}t - \frac{1}{2} \int \sec^2\frac{t}{2} \, \mathrm{d}t$$
公式：$1+\cos t = 2\cos^2\frac{t}{2}$, $\frac{1}{1+\cos t} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{t}{2}$
提示：半角公式在三角函数积分中非常常用，需熟练掌握。
步骤 4/5
目标：分别积分并换回原变量
第一项：$\int 1 \, \mathrm{d}t = t$。
第二项：令 $u = \frac{t}{2}$，则 $\mathrm{d}t = 2\mathrm{d}u$，于是
$$\frac{1}{2} \int \sec^2\frac{t}{2} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int \sec^2 u \cdot 2 \, \mathrm{d}u = \int \sec^2 u \, \mathrm{d}u = \tan u = \tan\frac{t}{2}$$
所以原积分结果为：
$$t - \tan\frac{t}{2} + C$$
由 $x = \sin t$ 得 $t = \arcsin x$。利用半角公式 $\tan\frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1+\cos t} = \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$，代入得：
$$\arcsin x - \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} + C$$
公式：$\int \sec^2 u \, \mathrm{d}u = \tan u + C$, $\tan\frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1+\cos t}$
提示：换回 $x$ 时注意 $\cos t = \sqrt{1-x^2}$ 取正值，且半角公式的推导要准确。
步骤 5/5
目标：检查结果并给出最终答案
最终结果为：
$$\boxed{\arcsin x - \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} + C}$$
也可写成等价形式 $\arcsin x - \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} + C$，但通常保留原形式。
公式：无新公式
提示：注意积分常数 $C$ 不可遗漏。
步骤 6/7
目标：回代变量
由 \(x = \sin t\) 得 \(t = \arcsin x\)。利用半角公式 \(\tan\frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1+\cos t} = \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\)。
公式：\tan\frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1+\cos t} = \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}
提示：注意 \(\cos t = \sqrt{1-x^2}\) 取正值，因为 \(t\) 在 \((-\pi/2, \pi/2)\)。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
积分结果为 \(\displaystyle \arcsin x - \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} + C\)。
公式：\boxed{\arcsin x - \frac{x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} + C}
提示：最终答案可保留此形式，无需进一步化简。
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