南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
六、（10 分）证明无穷积分的阿贝尔判别法，即若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化问题，将g(x)分解为常数部分和趋于0的部分
由于$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调有界，由单调有界定理知极限$\lim_{x\to+\infty}g(x)$存在，记作$g(+\infty)$。令$h(x)=g(x)-g(+\infty)$，则$h(x)$单调趋于$0$且有界。于是$f(x)g(x)=f(x)h(x)+f(x)g(+\infty)$。因为$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，常数乘以收敛积分仍收敛，故只需证明$\int_a^{+\infty}f(x)h(x)\mathrm{d}x$收敛即可。
公式：h(x)=g(x)-g(+\infty),\quad f(x)g(x)=f(x)h(x)+f(x)g(+\infty)
提示：注意单调有界保证极限存在，分解后只需处理单调趋于0的情形。
步骤 2/5
目标：应用柯西收敛准则转化要证明的结论
要证明$\int_a^{+\infty}f(x)h(x)\mathrm{d}x$收敛，根据无穷积分柯西收敛准则，只需证明：对任意$\varepsilon>0$，存在$A>a$，使得对任意$u,v$满足$A
公式：\forall\varepsilon>0,\exists A>a,\forall v>u>A:\left|\int_u^v f(x)h(x)\mathrm{d}x\right|<\varepsilon
提示：柯西准则是证明收敛性的常用工具，注意这里是对任意$u
步骤 3/5
目标：利用积分第二中值定理估计积分
因为$h(x)$在$[u,v]$上单调，由积分第二中值定理，存在$\xi\in[u,v]$使得：
\[\int_u^v f(x)h(x)\mathrm{d}x = h(u)\int_u^{\xi} f(x)\mathrm{d}x + h(v)\int_{\xi}^{v} f(x)\mathrm{d}x.\]
公式：\int_u^v f(x)h(x)\mathrm{d}x = h(u)\int_u^{\xi} f(x)\mathrm{d}x + h(v)\int_{\xi}^{v} f(x)\mathrm{d}x
提示：积分第二中值定理要求被积函数中一个因子单调，另一个可积，这里$h(x)$单调，$f(x)$可积（因为原积分收敛）。
步骤 4/5
目标：利用已知收敛性和h(x)趋于0控制误差
由于$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，由柯西准则，对任意$\varepsilon>0$，存在$X>a$，当$u>X$时，对任意$t_2>t_1>X$有$\left|\int_{t_1}^{t_2}f(x)\mathrm{d}x\right|<\varepsilon$。又因为$h(x)\to0$，存在$X'>a$，当$x>X'$时$|h(x)|<\varepsilon$。取$A=\max\{X,X'\}$，则当$A
公式：\left|\int_u^v f(x)h(x)\mathrm{d}x\right| < 2\varepsilon^2
提示：注意$\varepsilon$是任意正数，$2\varepsilon^2$可以任意小，因此柯西条件成立。
步骤 5/5
目标：得出结论
由柯西收敛准则，$\int_a^{+\infty}f(x)h(x)\mathrm{d}x$收敛，从而$\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm{d}x = \int_a^{+\infty}f(x)h(x)\mathrm{d}x + g(+\infty)\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$也收敛。这就完成了阿贝尔判别法的证明。
公式：\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm{d}x = \int_a^{+\infty}f(x)h(x)\mathrm{d}x + g(+\infty)\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x
提示：最后一步利用了收敛积分之和仍收敛的性质。
步骤 6/6
目标：由柯西收敛准则得出结论
由上述推导，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > a$，使得当 $A_2 > A_1 > X$ 时，$\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x)g(x) \, dx \right| < \varepsilon$。根据柯西收敛准则，无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x) \, dx$ 收敛。
公式：柯西收敛准则
提示：这是证明的最后一步，注意不要遗漏结论的陈述。
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