南昌大学 2025年数学分析第0题

给定周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 在 $(-\pi,\pi]$ 上的定义为： $$f(x)=\begin{cases}\pi-x, & 00$，有 $f(-x)=-\pi-(-x)=-\pi+x=-(\pi-x)=-f(x)$；对于 $x<0$ 类似可验证。因此 $f(x)$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上（除 $x=0$ 外）是奇函数。由于傅里叶级数中余弦项系数 $a_n$ 由偶函数部分决定，奇函数的 $a_n=0$，故只需计算正弦项系数 $b_n$。

利用奇函数性质，积分区间可简化为 $[0,\pi]$ 并乘以2： $$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx$$ 在 $(0,\pi]$ 上 $f(x)=\pi-x$，所以： $$b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx$$ 先计算 $\int_{0}^{\pi}\pi\sin(nx)\,dx=\pi\cdot\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi(1-(-1)^n)}{n}$。 再计算 $\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx$，使用分部积分：令 $u=x$，$dv=\sin(nx)dx$，则 $du=dx$，$v=-\frac{\cos(nx)}{n}$，有： $$\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx=\left[-x\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=-\frac{\pi(-1)^n}{n}+0=-\frac{\pi(-1)^n}{n}$$ 因此： $$\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx=\frac{\pi(1-(-1)^n)}{n}-\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right)=\frac{\pi}{n}$$ 代入得： $$b_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{n}=\frac{2}{n}$$

由于 $a_n=0$，$b_n=\frac{2}{n}$，傅里叶级数为正弦级数： $$f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}\sin(nx)$$ 此级数在 $(-\pi,\pi]$ 上表示 $f(x)$。

函数 $f(x)$ 在 $(-\pi,0)$ 和 $(0,\pi)$ 内光滑（连续且导数连续），在 $x=0$ 处有跳跃间断点（左极限 $-\pi$，右极限 $\pi$，跳跃度 $2\pi$），在 $x=\pi$ 处由于周期延拓也有跳跃（左极限 $0$，右极限 $-2\pi$，但 $f(\pi)=0$）。根据狄利克雷收敛定理：对于周期 $2\pi$ 的分段光滑函数，傅里叶级数在连续点收敛于函数值，在跳跃间断点收敛于左右极限的平均值。 - 在 $x=0$ 处，左右极限平均值为 $\frac{\pi+(-\pi)}{2}=0$，等于 $f(0)=0$。 - 在 $x=\pi$ 处，左极限 $f(\pi-0)=0$，右极限 $f(\pi+0)=f(-\pi+0)=-\pi-(-\pi)=0$（由周期延拓），平均值 $0$，等于 $f(\pi)=0$。 - 在其他点 $x\in(-\pi,\pi)\setminus\{0\}$，函数连续，级数收敛于 $f(x)$。 因此，傅里叶级数在 $(-\pi,\pi]$ 上逐点收敛于 $f(x)$。

若傅里叶级数在 $(-\pi,\pi]$ 上一致收敛，则其和函数必连续（因为一致收敛的连续函数项级数之和连续）。但 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有跳跃间断点（左极限 $-\pi$，右极限 $\pi$，不相等），因此级数不可能一致收敛。另外，从系数衰减速度看，$b_n=\frac{2}{n}$ 衰减较慢（类似调和级数），在间断点附近会出现吉布斯现象（Gibbs phenomenon），即部分和在跳跃点附近有超调，且不随 $n$ 增大而消失，这也表明不一致收敛。

考虑级数 ∑ (2/n) sin(nx) 在 x=0 附近的行为。由于 ∑ (2/n) 发散，且 sin(nx) 在 x 接近 0 时近似为 nx，级数部分和 S_N(x) 在 x=0 处为 0，但在 x 很小非零时，S_N(x) 接近 ∑ 2 sin(nx)/n，其最大值随 N 增大而趋于 π（吉布斯现象）。具体地，在 x=π/N 处，部分和 S_N(π/N) 趋近于一个大于 f(π/N) 的常数，导致余项不能一致趋于 0。因此级数在 (-π, π] 上不一致收敛。

函数 $f(x)$ 在 $(-\pi,\pi]$ 上除 $x=0$ 外是光滑的，在 $x=0$ 处有跳跃间断（左极限 $-\pi$，右极限 $\pi$），但定义值为 $0$，恰好是左右极限的平均值。根据傅里叶级数的狄利克雷定理，在间断点处级数收敛于平均值 $0$，在连续点处收敛于函数值。在 $x=\pm\pi$ 处，由于周期延拓，左右极限均为 $0$，函数连续。因此级数在 $(-\pi,\pi]$ 上逐点收敛于 $f(x)$。

考虑部分和 $S_N(x) = 2\sum_{n=1}^N \frac{\sin(nx)}{n}$。在 $x=0$ 处，$S_N(0)=0$，但在 $x>0$ 且靠近 $0$ 时，存在吉布斯现象：部分和的最大值超过函数值，且超调量趋于一个常数（约 $1.1789$ 倍的跳跃值 $2\pi$），不随 $N$ 增大而消失。因此，对于任意 $N$，存在 $x_N$ 使得 $|S_N(x_N)-f(x_N)|$ 不趋于 $0$，故级数在包含 $0$ 的区间上不一致收敛。