南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
五、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，求证：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，对任给的 $\displaystyle \delta>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：假设结论不成立，构造开覆盖
假设对于任意 $c \in [a,b]$，都存在某个 $\delta_c > 0$，使得 $f(x)$ 在 $(c-\delta_c, c+\delta_c) \cap [a,b]$ 上有界。则对每个 $c$，取开区间 $I_c = (c-\delta_c, c+\delta_c)$，这些开区间构成 $[a,b]$ 的一个开覆盖。
公式：$[a,b] \subseteq \bigcup_{c \in [a,b]} I_c$
提示：注意开覆盖的定义：每个点都被某个开区间覆盖。
步骤 2/4
目标：应用有限覆盖定理
由于 $[a,b]$ 是闭区间，是紧集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间 $I_{c_1}, I_{c_2}, \dots, I_{c_n}$ 覆盖 $[a,b]$，即 $[a,b] \subseteq \bigcup_{k=1}^n I_{c_k}$。
公式：$[a,b] \subseteq \bigcup_{k=1}^n I_{c_k}$
提示：有限覆盖定理是实数理论中的重要工具，常用于将局部性质推广到整体。
步骤 3/4
目标：利用每个子区间上的有界性得到整体有界
在每个 $I_{c_k} \cap [a,b]$ 上，$f$ 有界，设其上界为 $M_k$。取 $M = \max\{M_1, M_2, \dots, M_n\}$。则对任意 $x \in [a,b]$，存在某个 $k$ 使得 $x \in I_{c_k} \cap [a,b]$，从而 $|f(x)| \leq M_k \leq M$。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。
公式：$|f(x)| \leq M$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立
提示：注意最大值的存在性：有限个数的最大值一定存在。
步骤 4/4
目标：导出矛盾，完成证明
这与已知条件“$f$ 在 $[a,b]$ 上无界”矛盾。故假设不成立，原结论成立：存在 $c \in [a,b]$，使得对任意 $\delta > 0$，$f$ 在 $(c-\delta, c+\delta) \cap [a,b]$ 上无界。
公式：无
提示：反证法的关键：假设结论的反面，推出与已知矛盾的结论。
步骤 5/5
目标：验证 c 满足题目要求
任取 $\delta > 0$，由于区间长度 $b_n - a_n \to 0$，存在足够大的 $n$ 使得 $[a_n, b_n] \subseteq (c-\delta, c+\delta)$。根据构造，$f$ 在 $[a_n, b_n]$ 上无界，因此 $f$ 在 $(c-\delta, c+\delta) \cap [a, b]$ 上也无界。这就证明了存在这样的点 $c$。
公式：$[a_n, b_n] \subseteq (c-\delta, c+\delta)$ 当 $n$ 足够大时成立
提示：注意邻域与区间取交集，因为 c 可能在端点附近，但区间套保证子区间始终包含在 [a,b] 内。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在 $c \in [a,b]$，使得对任意 $\delta > 0$，函数 $f(x)$ 在 $(c-\delta, c+\delta) \cap [a,b]$ 上无界。证毕。
提示：这个结论说明无界函数在闭区间上至少有一个“无界聚点”。
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