南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4、 $x+y+z+1=0$ 到椭球 $18 x^{2}+9 y^{2}+3 z^{2}=1$ 最近距离 $d=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定解题思路：利用椭球切平面与给定平面平行的条件求最近点
由于椭球是封闭凸曲面，平面到椭球的最短距离等于椭球上某点处的切平面与给定平面平行时，该点到平面的垂直距离。因此，先求椭球上一点，使得该点处的法向量与平面的法向量平行。
公式：\nabla F = (36x, 18y, 6z) \parallel (1,1,1)
提示：注意：椭球是凸的，最短距离对应的点处法线方向一定与平面法线方向平行。
步骤 2/6
目标：根据法向量平行条件建立方程，用参数λ表示坐标
设椭球方程 $F(x,y,z)=18x^2+9y^2+3z^2-1=0$，梯度为 $\nabla F=(36x,18y,6z)$。令其与平面法向量 $(1,1,1)$ 平行，存在 $\lambda$ 使得：
$$(36x,18y,6z)=\lambda(1,1,1)$$
解得：
$$x=\frac{\lambda}{36},\quad y=\frac{\lambda}{18},\quad z=\frac{\lambda}{6}$$
公式：36x = 18y = 6z = \lambda
提示：注意比例关系不要写反，梯度各分量对应系数要正确。
步骤 3/6
目标：将参数表达式代入椭球方程，求解λ
代入 $18x^2+9y^2+3z^2=1$：
$$18\left(\frac{\lambda}{36}\right)^2+9\left(\frac{\lambda}{18}\right)^2+3\left(\frac{\lambda}{6}\right)^2=1$$
计算各项：
$$18\cdot\frac{\lambda^2}{1296}=\frac{\lambda^2}{72},\quad 9\cdot\frac{\lambda^2}{324}=\frac{\lambda^2}{36},\quad 3\cdot\frac{\lambda^2}{36}=\frac{\lambda^2}{12}$$
求和：
$$\frac{\lambda^2}{72}+\frac{\lambda^2}{36}+\frac{\lambda^2}{12}=\frac{\lambda^2}{72}+\frac{2\lambda^2}{72}+\frac{6\lambda^2}{72}=\frac{9\lambda^2}{72}=\frac{\lambda^2}{8}=1$$
解得 $\lambda^2=8$，即 $\lambda=\pm2\sqrt{2}$。
公式：\frac{\lambda^2}{8}=1 \Rightarrow \lambda=\pm2\sqrt{2}
提示：通分时注意分母统一为72，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：求出两个候选点的坐标
当 $\lambda=2\sqrt{2}$ 时：
$$x=\frac{2\sqrt{2}}{36}=\frac{\sqrt{2}}{18},\quad y=\frac{2\sqrt{2}}{18}=\frac{\sqrt{2}}{9},\quad z=\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$
当 $\lambda=-2\sqrt{2}$ 时：
$$x=-\frac{\sqrt{2}}{18},\quad y=-\frac{\sqrt{2}}{9},\quad z=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$
公式：\lambda=2\sqrt{2} \Rightarrow (\frac{\sqrt{2}}{18},\frac{\sqrt{2}}{9},\frac{\sqrt{2}}{3});\quad \lambda=-2\sqrt{2} \Rightarrow (-\frac{\sqrt{2}}{18},-\frac{\sqrt{2}}{9},-\frac{\sqrt{2}}{3})
提示：两个点分别位于椭球两侧，需分别计算到平面的距离以确定最小值。
步骤 5/6
目标：计算两个候选点到平面的距离，并取较小值
平面方程 $x+y+z+1=0$，距离公式 $d=\frac{|x_0+y_0+z_0+1|}{\sqrt{3}}$。
对于第一点 $(\frac{\sqrt{2}}{18},\frac{\sqrt{2}}{9},\frac{\sqrt{2}}{3})$：
$$x+y+z=\frac{\sqrt{2}}{18}+\frac{\sqrt{2}}{9}+\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{18}+\frac{2\sqrt{2}}{18}+\frac{6\sqrt{2}}{18}=\frac{9\sqrt{2}}{18}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x+y+z+1=\frac{\sqrt{2}}{2}+1>0$$
$$d_1=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$$
对于第二点 $(-\frac{\sqrt{2}}{18},-\frac{\sqrt{2}}{9},-\frac{\sqrt{2}}{3})$：
$$x+y+z=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x+y+z+1=1-\frac{\sqrt{2}}{2}>0$$
$$d_2=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$$
由于 $d_2
公式：d = \frac{|x_0+y_0+z_0+1|}{\sqrt{3}}
提示：注意绝对值内为正数，直接去掉绝对值；比较两个距离时，分子小的距离更小。
步骤 6/6
目标：化简最终结果
$$d = \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$$
也可有理化分母：
$$d = \frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{3}}{6}$$
公式：d = \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{3}}{6}
提示：化简时注意分子分母同时处理，最终答案保留根号形式即可。
步骤 7/7
目标：计算最近距离
最近距离为：
\[
d = \frac{|x+y+z+1|}{\sqrt{3}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{2})}{6}
\]
公式：d = \frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{2})}{6}
提示：分母有理化时，分子分母同乘 $\sqrt{3}$ 得到 $\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{2})}{6}$，注意化简。
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