南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\ln \left(\cos \left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right)\right] x^{n}$ 收玫半径为 $\_\_\_\_$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确系数形式
令 $a_n = \ln\left(\cos\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)$，则原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$。收敛半径公式为 $R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$。
公式：R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}
提示：注意系数是 $x^n$ 的形式，直接套用幂级数收敛半径公式。
步骤 2/4
目标：分析 $a_n$ 的渐近行为
当 $n$ 很大时，$\frac{1}{n^3}$ 很小，使用泰勒展开：$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + O(t^4)$。取 $t = \frac{1}{n^3}$，得 $\cos\left(\frac{1}{n^3}\right) = 1 - \frac{1}{2n^6} + O\left(\frac{1}{n^{12}}\right)$。再取对数，利用 $\ln(1+u) \sim u$（$u\to 0$），得 $\ln\left(1 - \frac{1}{2n^6} + \cdots\right) \sim -\frac{1}{2n^6}$。因此 $a_n \sim -\frac{1}{2n^6}$，$|a_n| \sim \frac{1}{2n^6}$。
公式：\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + O(t^4), \quad \ln(1+u) \sim u \; (u\to 0)
提示：注意对数展开时，$\ln(1+u)$ 中 $u$ 是负的小量，渐近式仍成立。
步骤 3/4
目标：计算 $\sqrt[n]{|a_n|}$ 的极限
由 $|a_n| \sim \frac{1}{2n^6}$，得 $\sqrt[n]{|a_n|} \sim \sqrt[n]{\frac{1}{2n^6}} = \frac{1}{\sqrt[n]{2} \cdot n^{6/n}}$。当 $n\to\infty$ 时，$\sqrt[n]{2} = e^{\frac{\ln 2}{n}} \to 1$，$n^{6/n} = e^{\frac{6\ln n}{n}} \to 1$，因此 $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1$。
公式：\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1, \quad \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{c} = 1 \;(c>0)
提示：注意 $n^{6/n}$ 的极限是 $1$，不要误以为发散。
步骤 4/4
目标：得出收敛半径
由收敛半径公式 $R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{1} = 1$。
公式：R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = 1
提示：收敛半径为 $1$，端点处需单独判断，但本题只要求半径。
步骤 5/5
目标：验证端点收敛性（补充说明）
当 $|x| = 1$ 时，通项绝对值 $|a_n x^n| \sim \frac{1}{2n^6}$，而 $\sum \frac{1}{n^6}$ 收敛（$p$-级数，$p=6>1$），因此级数在 $|x|=1$ 处绝对收敛。但收敛半径仍为 $1$。
公式：$|a_n| \sim \frac{1}{2n^6}$，$\sum \frac{1}{n^6}$ 收敛
提示：端点收敛性不影响半径，但可帮助理解级数的收敛域。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，函数项级数的收敛半径为 $1$。
提示：收敛半径是1，但端点收敛性需要单独讨论，本题只求半径。
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