南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
十、（15分）求 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}\left(2+x^{3}\right)} \mathrm{d} x$ 的连续区间．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确积分形式与可能的奇点
我们考虑含参积分 $I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}(2+x^{3})} \, dx$。积分区间为 $(0, +\infty)$，可能的奇点出现在 $x \to 0^+$（分母有 $x^\alpha$）和 $x \to +\infty$（分母中 $x^3$ 占主导）。需要分别分析这两处的收敛条件。
公式：I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}(2+x^{3})} \, dx
提示：注意积分区间两端都需要考虑，不要遗漏 $x \to 0^+$ 处的奇点。
步骤 2/6
目标：分析 $x \to 0^+$ 处的收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，$\arctan x \sim x$，且 $2+x^3 \to 2$，因此被积函数渐近等价于 $\frac{x}{x^\alpha \cdot 2} = \frac{1}{2} x^{1-\alpha}$。积分 $\int_0^{\delta} x^{1-\alpha} dx$ 在0附近收敛的条件是 $1-\alpha > -1$，即 $\alpha < 2$。
公式：\frac{\arctan x}{x^{\alpha}(2+x^3)} \sim \frac{1}{2} x^{1-\alpha}, \quad \int_0^{\delta} x^{1-\alpha} dx \text{ 收敛 } \Leftrightarrow 1-\alpha > -1 \Rightarrow \alpha < 2
提示：注意 $\int_0^\delta x^p dx$ 在 $p > -1$ 时收敛，这里 $p = 1-\alpha$。
步骤 3/6
目标：分析 $x \to +\infty$ 处的收敛性
当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，且 $2+x^3 \sim x^3$，因此被积函数渐近等价于 $\frac{\pi/2}{x^\alpha \cdot x^3} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{x^{\alpha+3}}$。积分 $\int^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha+3}} dx$ 在无穷远处收敛的条件是 $\alpha+3 > 1$，即 $\alpha > -2$。
公式：\frac{\arctan x}{x^{\alpha}(2+x^3)} \sim \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{x^{\alpha+3}}, \quad \int^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha+3}} dx \text{ 收敛 } \Leftrightarrow \alpha+3 > 1 \Rightarrow \alpha > -2
提示：注意 $\int^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ 在 $p > 1$ 时收敛，这里 $p = \alpha+3$。
步骤 4/6
目标：综合收敛区间
综合 $x \to 0^+$ 处的条件 $\alpha < 2$ 和 $x \to +\infty$ 处的条件 $\alpha > -2$，得到积分 $I(\alpha)$ 收敛的区间为 $-2 < \alpha < 2$。
公式：-2 < \alpha < 2
提示：两个条件必须同时满足，取交集。
步骤 5/6
目标：分析连续性
对于含参积分 $I(\alpha) = \int_0^{+\infty} f(x,\alpha) dx$，若被积函数 $f(x,\alpha)$ 在积分区域关于 $x$ 和 $\alpha$ 连续，且积分在参数区间内一致收敛，则 $I(\alpha)$ 连续。这里在任意闭区间 $[a,b] \subset (-2,2)$ 上，可以验证被积函数在 $x \to 0^+$ 和 $x \to +\infty$ 处有一致控制的估计（例如，利用 $\alpha$ 在闭区间上的最大值和最小值构造控制函数），从而保证一致收敛。因此 $I(\alpha)$ 在开区间 $(-2,2)$ 上连续。
公式：I(\alpha) \text{ 在 } (-2,2) \text{ 上连续}
提示：端点 $\alpha = \pm 2$ 处积分发散，因此不能包含在连续区间内。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于积分收敛区间即为连续区间，且端点处发散，所以 $I(\alpha)$ 的连续区间为 $(-2, 2)$。
公式：\boxed{(-2,2)}
提示：注意题目要求的是“连续区间”，即作为该积分定义的函数的连续点集合，不包括端点。
步骤 7/7
目标：得出结论
$I(\alpha)$ 的连续区间为 $(-2, 2)$。
提示：连续区间即积分收敛的区间。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。