南昌大学 2025年数学分析第0题

函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上黎曼可积的充要条件是：对于任意划分 $P$，当划分的细度 $\|P\| \to 0$ 时，达布上和 $U(P,f)$ 与达布下和 $L(P,f)$ 的差趋于 $0$。等价地，函数的不连续点集合的勒贝格测度为 $0$。本题采用达布和进行证明。

对于任意 $x \in [0,1]$，若 $x$ 为有理数，则 $f(x)=x^2 \in [0,1]$；若 $x$ 为无理数，则 $f(x)=0$。因此 $0 \leq f(x) \leq 1$，函数在 $[0,1]$ 上有界。有界是黎曼可积的必要条件，但非充分条件。

对 $[0,1]$ 作任意划分 $P: 0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = 1$，小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 的长度为 $\Delta x_i$。由于无理数在 $[0,1]$ 中稠密，每个小区间内必含有无理数点，且在这些点上 $f(x)=0$，因此每个小区间上的下确界为 $0$。故达布下和为：

由于有理数在 $[0,1]$ 中也稠密，每个小区间内必含有理数点，且 $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，因此小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上的上确界为右端点 $x_i$ 处的函数值 $x_i^2$。故达布上和为：

下积分为所有达布下和的上确界：$\underline{\int_0^1} f(x)\,dx = \sup_P L(P,f) = 0$。上积分为所有达布上和的下确界：$\overline{\int_0^1} f(x)\,dx = \inf_P U(P,f)$。需要估计 $\inf_P U(P,f)$ 的值。

由于 $x^2$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，对于任意划分 $P$，右端点黎曼和 $\sum x_i^2 \Delta x_i$ 是 $x^2$ 的一个达布上和，因此不小于 $x^2$ 的黎曼积分值：$\sum_{i=1}^n x_i^2 \Delta x_i \geq \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$。故对所有划分 $P$ 有 $U(P,f) \geq \frac{1}{3}$，从而上积分 $\overline{\int_0^1} f(x)\,dx \geq \frac{1}{3}$。

下积分 $=0$，上积分 $\geq \frac{1}{3} > 0$，两者不相等。根据黎曼可积的充要条件（达布上和与达布下和之差不能趋于0），函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不是黎曼可积的。