南昌大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}, x \in(0,+\infty)$ ．
（1）证明：该级数在 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 上收玫但不一致收玫．
（2）求该级数的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明级数在(0,+∞)上逐点收敛
对于固定的 $x>0$，令 $a_n = n e^{-n x}$。应用比值判别法：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)e^{-(n+1)x}}{n e^{-n x}} = \frac{n+1}{n} e^{-x} \to e^{-x} < 1$（因为 $x>0$ 时 $e^{-x}<1$），因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 对每个固定的 $x>0$ 绝对收敛，即逐点收敛。
公式：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{n} e^{-x} \to e^{-x} < 1$
提示：注意比值判别法要求极限小于1，这里 $e^{-x}<1$ 对任意 $x>0$ 成立，但 $x$ 趋近于0时极限趋近于1，这提示可能不一致收敛。
步骤 2/5
目标：证明级数在(0,+∞)上不一致收敛
考虑余项 $R_N(x)=\sum_{n=N+1}^{\infty} n e^{-n x}$。取 $x_N = \frac{1}{N}$，则当 $n$ 从 $N+1$ 到 $2N$ 时，$e^{-n/N} \ge e^{-2}$，于是 $\sum_{n=N+1}^{2N} n e^{-n/N} \ge N \cdot (N+1) e^{-2} \to \infty$（$N\to\infty$），说明余项在 $x$ 靠近0时不能一致趋于0，故级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$R_N(\frac{1}{N}) \ge N(N+1)e^{-2} \to \infty$
提示：常用技巧：取 $x$ 依赖于 $N$ 且趋于0，使得通项或部分和不能一致小。
步骤 3/5
目标：利用等比级数求和公式
令 $r = e^{-x}$，当 $x>0$ 时 $0
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n x} = \frac{1}{1-e^{-x}}$
提示：注意求和从 $n=0$ 开始，而原级数从 $n=1$ 开始，后续求导会自然调整。
步骤 4/5
目标：逐项求导得到和函数
在 $x>0$ 的任意闭区间 $[a,b]\subset(0,+\infty)$ 上，级数 $\sum e^{-n x}$ 及其逐项求导后的级数一致收敛，故可逐项求导。对等式 $\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n x} = \frac{1}{1-e^{-x}}$ 两边关于 $x$ 求导：左边得 $\sum_{n=0}^{\infty} (-n) e^{-n x} = -\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$，右边得 $\frac{d}{dx}\frac{1}{1-e^{-x}} = -\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$。因此 $-\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x} = -\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$，即 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x} = \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x} = \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$
提示：逐项求导需验证内闭一致收敛性，本题中由于指数衰减，在任意正区间内成立。
步骤 5/5
目标：化简和函数表达式（可选）
可将结果用双曲函数表示：$\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2} = \frac{1}{e^{x}(1-e^{-x})^2} = \frac{1}{(e^{x/2}-e^{-x/2})^2} = \frac{1}{4\sinh^2(x/2)}$。
公式：$S(x) = \frac{1}{4\sinh^2(x/2)}$
提示：化简不是必须的，但有时便于后续计算。
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