厦门大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+\cdots+n \cdot n!}{(n+1)!}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简分子中的通项
对于任意正整数 $k$，将 $k \cdot k!$ 改写为 $(k+1-1) \cdot k! = (k+1)k! - k! = (k+1)! - k!$。
公式：$k \cdot k! = (k+1)! - k!$
提示：注意裂项时不要遗漏符号，确保每一项都正确展开。
步骤 2/4
目标：对分子求和
将分子写为求和形式：$\sum_{k=1}^n k \cdot k! = \sum_{k=1}^n [(k+1)! - k!]$。这是一个 telescoping sum（裂项相消求和），展开后得到 $(2! - 1!) + (3! - 2!) + \cdots + ((n+1)! - n!)$，中间项全部抵消，结果为 $(n+1)! - 1$。
公式：$\sum_{k=1}^n k \cdot k! = (n+1)! - 1$
提示：裂项相消时，注意第一项和最后一项的符号，避免计算错误。
步骤 3/4
目标：代入原极限表达式
将化简后的分子代入原极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! - 1}{(n+1)!}$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! - 1}{(n+1)!}$
提示：代入时确保分母是 $(n+1)!$，不要写错。
步骤 4/4
目标：拆分极限并计算
将极限拆分为 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{(n+1)!}\right)$。当 $n \to \infty$ 时，$(n+1)! \to \infty$，因此 $\frac{1}{(n+1)!} \to 0$，极限值为 $1 - 0 = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{(n+1)!}\right) = 1$
提示：注意阶乘增长极快，$\frac{1}{(n+1)!}$ 趋于 0 是显然的，但需明确说明。
步骤 5/5
目标：拆分分式并求极限
将分式拆开：
$\frac{(n+1)!}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$。
当 $n \to \infty$ 时，$(n+1)! \to \infty$，所以 $\frac{1}{(n+1)!} \to 0$，因此极限为 $1 - 0 = 1$。
公式：\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{(n+1)!}\right) = 1
提示：注意 (n+1)! 增长极快，其倒数趋于0是显然的。
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