📝 厦门大学 2024年数学分析真题

1．（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+\cdots+n \cdot n!}{(n+1)!}$ ．

2．（20 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶连续，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时 $\displaystyle f(x) \neq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x \geq 4$ ．

3．（15 分）设广义积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，且 $\displaystyle f(x)$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．

4．（20 分）求二元函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4(3 x-4 y)$ 在 $D$ 上最值，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 25\right\}$.

5．（20 分）设 $K$ 为 $n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的闭开子集，且 $\displaystyle K \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} u_{k}, u_{k}$ 为一簇开集，证明：存在 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，能够在 $K$ 中找到一个 $\displaystyle u_{k}$ 使其以 $\displaystyle \varepsilon$ 为半径，$x$ 为圆心的 $\displaystyle B(x, \varepsilon)$ 的开球集．

6．（20 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4}, x \in[-\pi, 0) \\ \frac{\pi}{4}, x \in[0, \pi)\end{array}\right.$ ．
（1）求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的 Fourier 展开式，并写出和函数；
（2）计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ．

7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\iiint_{V} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z}{\pi t^{4}}$ ，其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}$ 围成的区域。

8．求曲线积分 $\displaystyle \oint_{C} y \ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right) d x+x \ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right) d y$ ，其中 $C$ 是被积函数定义域内从 $\displaystyle (2,0)$ 到 $\displaystyle (0,2)$ 的逐段光滑曲线．