厦门大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．（20 分）求二元函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4(3 x-4 y)$ 在 $D$ 上最值，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 25\right\}$.
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简函数并配方
将函数展开并配方：
\[
f(x, y) = x^2 + y^2 - 12x + 16y = (x-6)^2 + (y+8)^2 - 100
\]
这表示点 $(x,y)$ 到点 $(6,-8)$ 的距离平方减去 100。
公式：f(x,y) = (x-6)^2 + (y+8)^2 - 100
提示：配方时注意符号：$x^2-12x$ 配成 $(x-6)^2-36$，$y^2+16y$ 配成 $(y+8)^2-64$。
步骤 2/7
目标：分析内部驻点
求偏导数并令其为零：
\[
f_x = 2x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6, \quad f_y = 2y + 16 = 0 \Rightarrow y = -8
\]
点 $(6,-8)$ 到原点的距离为 $\sqrt{6^2+(-8)^2}=10>5$，不在区域 $D$ 内，因此内部无驻点，最值必在边界上。
公式：f_x = 2x - 12, \quad f_y = 2y + 16
提示：检查驻点是否在区域内：若距离大于半径，则不在内部。
步骤 3/7
目标：边界上使用拉格朗日乘数法
边界条件为 $x^2+y^2=25$，构造拉格朗日函数：
\[
L(x,y,\lambda) = x^2+y^2-12x+16y + \lambda(25 - x^2 - y^2)
\]
求偏导：
\[
\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 12 - 2\lambda x = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 2y + 16 - 2\lambda y = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 25 - x^2 - y^2 = 0
\]
由前两式得 $2x(1-\lambda)=12$，$2y(1-\lambda)=-16$。由于 $1-\lambda \neq 0$（否则矛盾），解得：
\[
x = \frac{6}{1-\lambda}, \quad y = \frac{-8}{1-\lambda}
\]
公式：x = \frac{6}{1-\lambda}, \quad y = \frac{-8}{1-\lambda}
提示：注意 $1-\lambda$ 不能为零，否则方程无解。
步骤 4/7
目标：代入约束求参数 λ
将 $x,y$ 代入 $x^2+y^2=25$：
\[
\frac{36+64}{(1-\lambda)^2} = 25 \Rightarrow \frac{100}{(1-\lambda)^2} = 25 \Rightarrow (1-\lambda)^2 = 4
\]
解得 $1-\lambda = 2$ 或 $1-\lambda = -2$，即 $\lambda = -1$ 或 $\lambda = 3$。
公式：(1-\lambda)^2 = 4
提示：解方程时注意平方根有两个值，不要遗漏。
步骤 5/7
目标：求出边界上的候选点
当 $\lambda = -1$ 时，$1-\lambda=2$，得 $x=3, y=-4$；
当 $\lambda = 3$ 时，$1-\lambda=-2$，得 $x=-3, y=4$。
两点均在圆 $x^2+y^2=25$ 上。
公式：(3,-4), \quad (-3,4)
提示：代入后检查是否满足约束条件。
步骤 6/7
目标：计算函数值并比较
利用配方形式计算：
对于 $(3,-4)$：
\[
f = (3-6)^2 + (-4+8)^2 - 100 = 9+16-100 = -75
\]
对于 $(-3,4)$：
\[
f = (-3-6)^2 + (4+8)^2 - 100 = 81+144-100 = 125
\]
由于 $D$ 是紧集，连续函数必有最值，比较得最小值为 $-75$，最大值为 $125$。
公式：f(3,-4) = -75, \quad f(-3,4) = 125
提示：也可直接代入原函数计算，但配方形式更简便。
步骤 7/7
目标：给出最终答案
最大值 $125$ 在点 $(-3,4)$ 取得，最小值 $-75$ 在点 $(3,-4)$ 取得。
公式：\max f = 125, \quad \min f = -75
提示：注意最值点是否在区域内，本题均在边界上。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。