厦门大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．（15 分）设广义积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，且 $\displaystyle f(x)$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析条件并确定单调性与符号
已知广义积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，且 $f(x)$ 单调。由积分收敛的必要条件知 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。由于 $f(x)$ 单调，当 $x$ 充分大时，$f(x)$ 的符号保持不变（否则无法单调趋于0）。不妨先设 $f(x)$ 单调递减且非负（若为负，可通过取负转化为非负情形）。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：注意：单调递增且趋于0时，$f(x)$ 必为非正，需单独处理，但可通过取负转化为递减非负情形。
步骤 2/6
目标：利用积分收敛性构造不等式
由于 $f(x)$ 单调递减且非负，对任意 $t > a$，在区间 $[t, 2t]$ 上，$f(x) \ge f(2t)$。因此：
$$\int_t^{2t} f(x) \, dx \ge \int_t^{2t} f(2t) \, dx = t \cdot f(2t).$$
公式：$\int_t^{2t} f(x) \, dx \ge t f(2t)$
提示：递减性保证 $f(x)$ 在区间左端点最大，右端点最小，此处取最小值 $f(2t)$ 进行放缩。
步骤 3/6
目标：利用积分收敛性推出极限
因为 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，所以当 $t \to +\infty$ 时，$\int_t^{2t} f(x) \, dx \to 0$。结合不等式 $0 \le t f(2t) \le \int_t^{2t} f(x) \, dx$，由夹逼定理得：
$$\lim_{t \to +\infty} t f(2t) = 0.$$
公式：$\lim_{t \to +\infty} t f(2t) = 0$
提示：注意积分收敛意味着无穷远处的尾部积分趋于0，这是关键步骤。
步骤 4/6
目标：变量代换得到最终极限
令 $x = 2t$，则 $t = x/2$，代入极限式得：
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2} f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0.$$
公式：$\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0$
提示：代换时注意 $t \to +\infty$ 等价于 $x \to +\infty$。
步骤 5/6
目标：处理单调递增且趋于0的情形
若 $f(x)$ 单调递增且趋于0，则 $f(x)$ 必为非正（否则正且递增不可能趋于0）。令 $g(x) = -f(x)$，则 $g(x)$ 非负且单调递减，且 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ 收敛（因 $\int f$ 收敛）。由已证结论得 $\lim_{x \to +\infty} x g(x) = 0$，即 $\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} x g(x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0$
提示：注意取负后单调性反转，但收敛性不变，这是处理符号问题的常用技巧。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上两种情况，无论 $f(x)$ 是单调递减还是单调递增，在积分收敛的条件下，均有 $\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0$。命题得证。
公式：$\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0$
提示：结论成立的关键是单调性保证了函数在区间上的下界可被积分控制。
步骤 7/7
目标：总结结论
综合以上讨论，无论 $f(x)$ 是单调递减还是单调递增，只要广义积分收敛，都有 $\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0$。命题得证。
公式：$$\boxed{\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0}$$
提示：证明的关键在于利用单调性对积分进行放缩，并结合积分收敛的尾部性质。
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