厦门大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\iiint_{V} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z}{\pi t^{4}}$ ，其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}$ 围成的区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将三重积分化为球坐标形式
令 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，球坐标下体积元为 $dV = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\varphi$，积分区域 $V$ 为 $0 \le r \le t$，$0 \le \theta \le \pi$，$0 \le \varphi \le 2\pi$。于是原积分化为：
$$
\iiint_V f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) dV = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\pi} \sin\theta \, d\theta \int_0^t f(r) \, r^2 dr.
$$
计算角度部分：$\int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi$，$\int_0^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2$，乘积为 $4\pi$。因此：
$$
\iiint_V f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) dV = 4\pi \int_0^t f(r) r^2 \, dr.
$$
公式：\iiint_V f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) dV = 4\pi \int_0^t f(r) r^2 \, dr
提示：注意球坐标变换时，$r^2$ 来自雅可比行列式，不要遗漏；角度积分结果 $4\pi$ 是球表面积公式的体现。
步骤 2/4
目标：利用已知条件展开被积函数
已知 $f(0)=0$ 且 $f$ 有连续导数，因此 $f(r)$ 在 $r=0$ 处可进行一阶泰勒展开：
$$
f(r) = f(0) + f'(0) r + o(r) = f'(0) r + o(r), \quad r \to 0.
$$
代入被积表达式：
$$
f(r) r^2 = f'(0) r^3 + o(r^3).
$$
公式：f(r) r^2 = f'(0) r^3 + o(r^3)
提示：泰勒展开时，$o(r)$ 表示比 $r$ 高阶的无穷小，乘以 $r^2$ 后变为 $o(r^3)$，注意阶数的一致性。
步骤 3/4
目标：计算积分的主项
当 $t \to 0$ 时，对展开式积分：
$$
\int_0^t f(r) r^2 \, dr = \int_0^t \left[ f'(0) r^3 + o(r^3) \right] dr = f'(0) \cdot \frac{t^4}{4} + o(t^4).
$$
代入第一步结果：
$$
\iiint_V f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) dV = 4\pi \left[ f'(0) \frac{t^4}{4} + o(t^4) \right] = \pi f'(0) t^4 + o(t^4).
$$
公式：\iiint_V f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) dV = \pi f'(0) t^4 + o(t^4)
提示：积分 $\int_0^t r^3 dr = t^4/4$ 是精确结果；$o(t^4)$ 表示比 $t^4$ 高阶的无穷小，在极限中可忽略。
步骤 4/4
目标：求极限并得出最终结果
将积分表达式代入所求极限：
$$
\lim_{t \to 0} \frac{\iiint_V f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) dV}{\pi t^4} = \lim_{t \to 0} \frac{\pi f'(0) t^4 + o(t^4)}{\pi t^4} = \lim_{t \to 0} \left[ f'(0) + \frac{o(t^4)}{t^4} \right] = f'(0).
$$
因此极限值为 $f'(0)$。
公式：\lim_{t \to 0} \frac{\iiint_V f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) dV}{\pi t^4} = f'(0)
提示：注意 $o(t^4)/t^4 \to 0$，这是高阶无穷小的定义；最终结果只依赖于 $f$ 在 $0$ 处的导数。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
因此原极限的值为 $f'(0)$。
公式：\boxed{f'(0)}
提示：最终结果仅依赖于 $f$ 在 $0$ 处的导数，与 $f$ 的具体形式无关。
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