厦门大学 2024年数学分析第6题

给定函数 $f(x)$ 在 $[-\pi,0)$ 上为 $-\frac{\pi}{4}$，在 $[0,\pi)$ 上为 $\frac{\pi}{4}$。对于任意 $x \in (0,\pi)$，有 $f(-x) = -\frac{\pi}{4} = -f(x)$，因此 $f(x)$ 是奇函数。奇函数的傅里叶级数只含有正弦项，即 $a_n = 0$，$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$。

由于 $f(x)$ 是奇函数，$\sin(nx)$ 也是奇函数，乘积为偶函数，积分可简化为 $b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$。在 $[0,\pi)$ 上 $f(x)=\frac{\pi}{4}$，代入得 $b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{4} \sin(nx) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx$。计算积分：$\int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx = \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{\cos 0}{n} = \frac{1 - (-1)^n}{n}$。因此 $b_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n}$。

当 $n$ 为偶数时，$1-(-1)^n = 0$，故 $b_n=0$；当 $n$ 为奇数时，令 $n=2k-1$（$k=1,2,\ldots$），则 $1-(-1)^{2k-1}=1-(-1)=2$，代入得 $b_{2k-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2k-1} = \frac{1}{2k-1}$。因此傅里叶级数为 $f(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1} \sin((2k-1)x)$。

根据狄利克雷定理，傅里叶级数在连续点收敛到函数值，在间断点收敛到左右极限的平均值。函数 $f(x)$ 在 $(-\pi,0)$ 和 $(0,\pi)$ 内连续，在 $x=0$ 处左极限为 $-\frac{\pi}{4}$，右极限为 $\frac{\pi}{4}$，平均值为0；在 $x=\pm\pi$ 处，由于周期延拓，左右极限分别为 $\frac{\pi}{4}$ 和 $-\frac{\pi}{4}$，平均值也为0。因此和函数为 $S(x) = \begin{cases} -\frac{\pi}{4}, & -\pi < x < 0, \\ 0, & x = 0, \pm\pi, \\ \frac{\pi}{4}, & 0 < x < \pi, \end{cases}$ 并以 $2\pi$ 为周期延拓。

Parseval 等式（能量恒等式）对于奇函数在 $[-\pi,\pi]$ 上的傅里叶级数为 $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2 \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$。左边计算：$f(x)^2 = \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{\pi^2}{16}$ 几乎处处成立，积分得 $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\pi^2}{16} \, dx = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{16} \cdot 2\pi = \frac{\pi^2}{8}$。右边：只有奇数项非零，$b_{2k-1}^2 = \frac{1}{(2k-1)^2}$，故 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2}$。

由 Parseval 等式得到 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$。这就是所求的级数和。