厦门大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．（20 分）设 $K$ 为 $n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的闭开子集，且 $\displaystyle K \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} u_{k}, u_{k}$ 为一簇开集，证明：存在 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，能够在 $K$ 中找到一个 $\displaystyle u_{k}$ 使其以 $\displaystyle \varepsilon$ 为半径，$x$ 为圆心的 $\displaystyle B(x, \varepsilon)$ 的开球集．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用紧致性提取有限子覆盖
因为 $K$ 是紧集，且被开集族 $\{u_k\}_{k=1}^\infty$ 覆盖，由紧致性可知存在有限子覆盖，即存在正整数 $m$ 使得 $K \subseteq \bigcup_{i=1}^m u_{k_i}$。
公式：K \subseteq \bigcup_{i=1}^m u_{k_i}
提示：注意紧致性要求覆盖是开覆盖，这里每个 $u_k$ 都是开集，满足条件。
步骤 2/6
目标：对每个点构造局部开球
对于每个 $x \in K$，它属于某个 $u_{k_i}$。由于 $u_{k_i}$ 是开集，存在半径 $r_x > 0$ 使得 $B(x, 2r_x) \subseteq u_{k_i}$。这里取 $2r_x$ 是为了后续构造统一半径时留有余地。
公式：B(x, 2r_x) \subseteq u_{k_i}
提示：开集的定义保证了存在这样的半径，注意取 $2r_x$ 而非 $r_x$ 是技巧性步骤。
步骤 3/6
目标：用更小的开球覆盖紧集 $K$
所有开球 $\{B(x, r_x) : x \in K\}$ 构成 $K$ 的一个开覆盖。由紧致性，存在有限个点 $x_1, \dots, x_p \in K$ 使得 $K \subseteq \bigcup_{j=1}^p B(x_j, r_{x_j})$。
公式：K \subseteq \bigcup_{j=1}^p B(x_j, r_{x_j})
提示：这里用 $r_x$ 而不是 $2r_x$ 是为了让后续三角不等式推导更紧凑。
步骤 4/6
目标：定义统一的 Lebesgue 数 $\varepsilon$
令 $\varepsilon = \min\{r_{x_1}, r_{x_2}, \dots, r_{x_p}\} > 0$。这个 $\varepsilon$ 就是我们要找的半径。
公式：\varepsilon = \min\{r_{x_1}, r_{x_2}, \dots, r_{x_p}\} > 0
提示：最小值存在且大于零，因为有限个正数的最小值仍为正。
步骤 5/6
目标：证明 $\varepsilon$ 满足要求
任取 $y \in K$，则存在某个 $j$ 使得 $y \in B(x_j, r_{x_j})$，即 $d(y, x_j) < r_{x_j}$。对任意 $z \in B(y, \varepsilon)$，由三角不等式：$d(z, x_j) \le d(z, y) + d(y, x_j) < \varepsilon + r_{x_j} \le r_{x_j} + r_{x_j} = 2r_{x_j}$，因此 $z \in B(x_j, 2r_{x_j})$。
公式：d(z, x_j) < 2r_{x_j} \Rightarrow z \in B(x_j, 2r_{x_j})
提示：三角不等式的使用是关键，注意 $\varepsilon \le r_{x_j}$ 保证了 $\varepsilon + r_{x_j} \le 2r_{x_j}$。
步骤 6/6
目标：得出最终结论
由第2步的构造，$B(x_j, 2r_{x_j}) \subseteq u_{k_i}$，所以 $B(y, \varepsilon) \subseteq B(x_j, 2r_{x_j}) \subseteq u_{k_i}$。因此对任意 $y \in K$，存在开集 $u_{k_i}$ 使得 $B(y, \varepsilon) \subseteq u_{k_i}$。结论成立。
公式：B(y, \varepsilon) \subseteq u_{k_i}
提示：注意 $u_{k_i}$ 是有限子覆盖中的某一个，不依赖于 $y$ 的选择。
步骤 7/7
目标：总结结论
由反证法得证：存在 $\varepsilon > 0$（称为勒贝格数），使得对任意 $x \in K$，存在某个 $k$ 满足 $B(x, \varepsilon) \subseteq U_k$。这就是勒贝格数引理。
公式：\exists \varepsilon > 0, \forall x \in K, \exists k, \text{ s.t. } B(x, \varepsilon) \subseteq U_k
提示：该引理是紧集在分析中的重要性质，常用于证明一致连续性等。
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