厦门大学 2026年数学分析第2题

由定义计算 $x_{n+1} - x_n$： $x_{n+1} = \left(1+\frac12+\cdots+\frac1n+\frac1{n+1}\right) - \ln(n+2)$ $x_n = \left(1+\frac12+\cdots+\frac1n\right) - \ln(n+1)$ 相减得： $x_{n+1} - x_n = \frac{1}{n+1} - [\ln(n+2) - \ln(n+1)]$ 利用对数性质：$\ln(n+2) - \ln(n+1) = \ln\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)$ 所以： $x_{n+1} - x_n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)$

对于任意 $t > 0$，有不等式 $\ln(1+t) < t$。 令 $t = \frac{1}{n+1} > 0$，则： $\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right) < \frac{1}{n+1}$ 因此： $\frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right) > 0$ 即 $x_{n+1} - x_n > 0$，所以序列 $\{x_n\}$ 严格递增。

考虑积分与调和级数的关系。对于 $k \ge 2$，由函数 $1/t$ 的单调递减性，在区间 $[k-1, k]$ 上有： $\frac{1}{k} < \int_{k-1}^{k} \frac{1}{t} dt$ 对 $k=2$ 到 $n$ 求和： $\sum_{k=2}^n \frac{1}{k} < \int_1^n \frac{1}{t} dt = \ln n$ 于是： $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} < 1 + \ln n$ 代入 $x_n$ 表达式： $x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n+1) < 1 + \ln n - \ln(n+1) = 1 + \ln\frac{n}{n+1}$ 由于 $\frac{n}{n+1} < 1$，故 $\ln\frac{n}{n+1} < 0$，所以 $x_n < 1$。

由前两步可知： 1. 序列 $\{x_n\}$ 严格递增（$x_{n+1} - x_n > 0$）。 2. 序列 $\{x_n\}$ 有上界（$x_n < 1$ 对所有 $n$ 成立）。 根据实数理论中的单调有界定理：单调递增且有上界的数列必有极限。 因此 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$ 存在。 （注：该极限称为欧拉常数 $\gamma \approx 0.5772$，但本题只要求证明存在性。）

由前两步知 $\{x_n\}$ 单调递增且有上界，根据单调有界定理，$\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在。