厦门大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的非负连续函数，满足
$$
f(x) \leq \int_{0}^{x} f(s) g(s) \mathrm{d} s, \forall x \geq 0
$$
证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[0,+\infty)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件并引入辅助函数
已知 $f(x), g(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上非负连续，且满足 $f(x) \leq \int_0^x f(s)g(s) \, ds$。令 $F(x) = \int_0^x f(s)g(s) \, ds$，则 $F(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上可导，且 $F'(x) = f(x)g(x)$。由已知不等式得 $f(x) \leq F(x)$。
公式：F(x) = \int_0^x f(s)g(s) \, ds, \quad F'(x) = f(x)g(x), \quad f(x) \leq F(x)
提示：注意 $F(x)$ 是非负且单调不减的，因为被积函数非负。
步骤 2/5
目标：推导关于F(x)的微分不等式
由 $f(x) \leq F(x)$ 两边乘以非负的 $g(x)$，得到 $f(x)g(x) \leq F(x)g(x)$，即 $F'(x) \leq F(x)g(x)$。整理为 $F'(x) - g(x)F(x) \leq 0$。
公式：F'(x) \leq F(x)g(x) \quad \text{或} \quad F'(x) - g(x)F(x) \leq 0
提示：乘以 $g(x)$ 时需注意 $g(x)$ 非负，否则不等号方向可能改变。
步骤 3/5
目标：利用积分因子法处理微分不等式
令 $G(x) = \int_0^x g(t) \, dt$，则 $e^{-G(x)}$ 为积分因子。计算导数：$\frac{d}{dx}\left[F(x)e^{-G(x)}\right] = F'(x)e^{-G(x)} - F(x)g(x)e^{-G(x)} = e^{-G(x)}\left[F'(x) - g(x)F(x)\right] \leq 0$。因此 $H(x) = F(x)e^{-G(x)}$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调不增。
公式：\frac{d}{dx}\left[F(x)e^{-\int_0^x g(t) dt}\right] \leq 0
提示：积分因子法适用于形如 $y' + p(x)y \leq 0$ 的不等式，这里 $p(x) = -g(x)$。
步骤 4/5
目标：利用初始条件推出F(x)恒为零
计算 $H(0) = F(0)e^{-G(0)} = 0 \cdot 1 = 0$。由于 $H(x)$ 单调不增且 $H(0)=0$，同时 $F(x) \geq 0$ 和 $e^{-G(x)} > 0$ 保证 $H(x) \geq 0$，故对任意 $x \geq 0$ 有 $0 \leq H(x) \leq H(0) = 0$，从而 $H(x) \equiv 0$。因此 $F(x) \equiv 0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立。
公式：H(0)=0, \; H(x)\geq 0, \; H(x)\text{单调不增} \Rightarrow H(x)\equiv 0 \Rightarrow F(x)\equiv 0
提示：这里利用了 $H(x)$ 的非负性和单调性夹逼得到恒为零，注意 $e^{-G(x)} > 0$ 恒成立。
步骤 5/5
目标：由F恒为零推出f恒为零
由 $F(x) = \int_0^x f(s)g(s) \, ds \equiv 0$ 及被积函数非负连续，可得 $f(x)g(x) \equiv 0$。但仅凭此不能直接得到 $f(x) \equiv 0$（可能 $g(x)=0$ 处 $f(x)$ 非零）。然而原不等式给出 $f(x) \leq F(x) = 0$，结合 $f(x) \geq 0$，故 $f(x) \equiv 0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立。
公式：f(x) \leq F(x)=0 \quad \text{且} \quad f(x) \geq 0 \Rightarrow f(x) \equiv 0
提示：不要只从 $f(x)g(x)=0$ 下结论，必须回到原不等式才能排除 $g(x)=0$ 时 $f(x)$ 可能非零的情况。
步骤 6/6
目标：证明 $f(x) \equiv 0$
由条件 $f(x) \leq F(x) = 0$，得 $f(x) \leq 0$。又已知 $f(x) \geq 0$，故 $f(x) \equiv 0$，对任意 $x \in [0,+\infty)$ 成立。
公式：f(x) \leq 0 \text{ 且 } f(x) \geq 0 \Rightarrow f(x) \equiv 0
提示：注意 $f(x)$ 非负是已知条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。