厦门大学 2026年数学分析第7题

第一个方程 $x^2+y^2+z^2=2az$ 配方得 $x^2+y^2+(z-a)^2=a^2$，球心 $(0,0,a)$，半径 $a$。第二个方程 $x^2+y^2+z^2=az$ 配方得 $x^2+y^2+(z-\frac{a}{2})^2=(\frac{a}{2})^2$，球心 $(0,0,\frac{a}{2})$，半径 $\frac{a}{2}$。

联立两球面方程相减得 $az=0$，因 $a>0$ 得 $z=0$，代入得 $x^2+y^2=0$，故切于原点。小球 $z$ 范围 $0$ 到 $a$，大球 $z$ 范围 $0$ 到 $2a$，且小球截面半径 $\sqrt{az-z^2}$ 总不大于大球截面半径 $\sqrt{2az-z^2}$，因此 $V$ 即为小球内部：$x^2+y^2+(z-\frac{a}{2})^2 \le (\frac{a}{2})^2$。

由于区域关于 $z$ 轴对称，采用柱坐标：$x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z$，体积元 $\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$。积分区域：$0\le z\le a$，$0\le \theta\le 2\pi$，$0\le r\le \sqrt{az-z^2}$。被积函数 $z$ 与 $\theta,r$ 无关，积分化为： $$\iiint_V z\,\mathrm{d}V = \int_{z=0}^a \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{az-z^2}} z\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$$

先对 $r$ 积分：$\int_0^{\sqrt{az-z^2}} z r\,\mathrm{d}r = z\cdot\frac{1}{2}(az-z^2) = \frac{z(az-z^2)}{2}$。再对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi} \frac{z(az-z^2)}{2}\,\mathrm{d}\theta = \pi z(az-z^2)$。最后对 $z$ 积分： $$\int_0^a \pi (a z^2 - z^3)\,\mathrm{d}z = \pi\left[\frac{a z^3}{3} - \frac{z^4}{4}\right]_0^a = \pi a^4\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{\pi a^4}{12}$$

三重积分值为 $\frac{\pi a^4}{12}$。