合肥工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）判断极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)$ 是否存在？若存在，求出极限值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察通项形式并考虑泰勒展开
当 $n$ 很大时，$\frac{k}{n^2}$ 对于每个固定的 $k$ 都很小，最大为 $\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$。因此对 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处做泰勒展开：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，其中 $x = \frac{k}{n^2}$。
公式：\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right) = \frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4} + O\left(\frac{k^3}{n^6}\right)
提示：注意 $x$ 的范围：$0 < x \leq \frac{1}{n}$，所以展开是合理的，但余项需要小心处理。
步骤 2/6
目标：代入展开式并求和
将展开式代入求和：
$$
\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k - \frac{1}{2n^4} \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n O\left(\frac{k^3}{n^6}\right)
$$
公式：\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right) = \frac{1}{n^2} S_1 - \frac{1}{2n^4} S_2 + R_n
提示：求和符号与展开式结合时，注意余项求和需要估计阶数。
步骤 3/6
目标：计算主要项：一次项和二次项
计算 $S_1 = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}$，$S_2 = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}$。
则一次项：$\frac{1}{n^2} S_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}$。
二次项：$-\frac{1}{2n^4} S_2 = -\frac{1}{2n^4} \left( \frac{n^3}{3} + O(n^2) \right) = -\frac{1}{6n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$。
公式：\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}, \quad -\frac{1}{2n^4} \sum_{k=1}^n k^2 = -\frac{1}{6n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)
提示：注意 $S_2$ 展开时保留到 $n^3$ 项即可，因为除以 $n^4$ 后 $n^2$ 项贡献 $O(1/n^2)$。
步骤 4/6
目标：估计余项
余项 $\sum_{k=1}^n O\left(\frac{k^3}{n^6}\right)$ 中，$\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = O(n^4)$，所以 $\sum_{k=1}^n O\left(\frac{k^3}{n^6}\right) = O\left(\frac{n^4}{n^6}\right) = O\left(\frac{1}{n^2}\right)$。
公式：\sum_{k=1}^n O\left(\frac{k^3}{n^6}\right) = O\left(\frac{1}{n^2}\right)
提示：余项求和时，$O$ 符号要整体处理，不能逐项取 $O$ 再求和，但这里因为 $k^3$ 求和有界，所以可行。
步骤 5/6
目标：合并结果并求极限
将各项合并：
$$
\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} - \frac{1}{6n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)
$$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{3n} \to 0$，$O\left(\frac{1}{n^2}\right) \to 0$，因此极限为 $\frac{1}{2}$。
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right) = \frac{1}{2}
提示：注意 $\frac{1}{2n} - \frac{1}{6n} = \frac{1}{3n}$，不要算错。
步骤 6/6
目标：结论
极限存在，且值为 $\frac{1}{2}$。
公式：\boxed{\frac{1}{2}}
提示：本题也可用定积分定义或夹逼准则，但泰勒展开更直接。
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