📝 合肥工业大学 2026年数学分析真题

一．（15 分）判断极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)$ 是否存在？若存在，求出极限值．

七．（15 分）设 $\displaystyle F(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内有二阶连续的偏导数，且

$$
F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0
$$

证明：由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处取极值．

三．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-3 \sqrt{x}]=7$ ．判断函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上是否一致连续，并说明你的理由．

九．（15 分）求曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}=a^{3} x y z(a>0)$ 所围立体的体积．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不同的 $\displaystyle \xi, \eta$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=1$ ．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \min _{x \in[a, b]} f(x)=3$ ，计算

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}}
$$

八．（15 分）求平面 $\displaystyle x+2 y=1$ 与曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近的点的坐标．

六．（15 分）设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+2}}{n}$ 的值，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$ 是否收敛？并说明理由．

十．（15 分）证明：$\displaystyle F(\lambda)=\int_{0}^{+\infty} \frac{1-e^{-\lambda t}}{t} \cos t \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，并且在 $\displaystyle [a, b]$ 上每一点的极限都存在且为 0 ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，并求 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．