合肥工业大学 2026年数学分析第0题

已知对任意 $x_0 \in [a,b]$，有 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$。取 $\varepsilon = 1$，则存在 $\delta_{x_0} > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_{x_0}$ 且 $x \in [a,b]$ 时，有 $|f(x)| < 1$。因此，在邻域 $U_{x_0} = (x_0 - \delta_{x_0}, x_0 + \delta_{x_0}) \cap [a,b]$ 内，除可能点 $x_0$ 外，$f(x)$ 有界。而单点不影响有界性，故 $f$ 在每点附近有界。

由第一步，每个 $x_0 \in [a,b]$ 对应一个开区间 $(x_0 - \delta_{x_0}, x_0 + \delta_{x_0})$，这些开区间构成 $[a,b]$ 的一个开覆盖。由于 $[a,b]$ 是紧集，存在有限个这样的开区间覆盖整个区间，记为 $\{(x_i - \delta_i, x_i + \delta_i)\}_{i=1}^m$。在每个开区间内，$|f(x)| < 1$（除可能中心点外），而中心点至多 $m$ 个，取 $M = \max\{1, |f(x_1)|, \dots, |f(x_m)|\}$，则对任意 $x \in [a,b]$，有 $|f(x)| \leq M$，故 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

对任意正整数 $n$，定义集合 $E_n = \{ x \in [a,b] : |f(x)| > \frac{1}{n} \}$。由于 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，对每个 $x_0 \in E_n$，存在 $\delta > 0$ 使得在去心邻域内 $|f(x)| < \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$，因此 $E_n$ 中的点都是孤立点。闭区间上的孤立点集至多可数（每个孤立点可对应一个有理数区间），故每个 $E_n$ 至多可数。从而所有非零点集 $\{x: f(x) \neq 0\} = \bigcup_{n=1}^\infty E_n$ 是至多可数集。

由第二步知 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界；由第三步知 $f$ 的不连续点集包含于非零点集（因为极限处处为0，连续点必满足 $f(x)=0$），而不连续点集是至多可数集，其勒贝格测度为0。根据黎曼可积的勒贝格定理：有界函数在闭区间上黎曼可积当且仅当它的不连续点集是零测集。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。

由于 $f$ 在除至多可数个点外均为0，而可数集对黎曼积分无贡献，故积分值为0。严格证明：对任意 $\varepsilon > 0$，用总长度小于 $\varepsilon$ 的有限个小区间覆盖那些非零点（可数集可被开区间覆盖且总长度任意小），在剩余区间上 $|f(x)| < \varepsilon$（由极限处处为0及紧致性可得），从而 $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \varepsilon \cdot (b-a) + M \cdot \varepsilon$，由 $\varepsilon$ 任意性知积分为0。

由于 $f(x)$ 几乎处处等于0，Riemann 积分值等于0。严格证明：对任意分割 $P$，考虑上和 $U(P,f)$ 与下和 $L(P,f)$。因为非零点集至多可数，对任意 $\epsilon > 0$，可选取分割使得这些点被包含在总长度小于 $\epsilon$ 的小区间内，其余区间上 $|f(x)| < \epsilon$，从而 $U(P,f) - L(P,f) < (b-a+2M)\epsilon$，且 $|U(P,f)|$ 和 $|L(P,f)|$ 可任意小，故积分值为0。