合肥工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）设 $\displaystyle F(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内有二阶连续的偏导数，且
$$
F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0
$$
证明：由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处取极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证隐函数存在条件
已知 $F(x_0, y_0)=0$ 且 $F_y'(x_0, y_0) \neq 0$，由隐函数定理，在 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内，方程 $F(x,y)=0$ 唯一确定一个连续可导的隐函数 $y=y(x)$，满足 $y(x_0)=y_0$，并且有 $y'(x) = -\frac{F_x(x, y(x))}{F_y(x, y(x))}$。
公式：y'(x) = -\frac{F_x(x, y(x))}{F_y(x, y(x))}
提示：注意隐函数定理要求 $F_y \neq 0$，题目中已给出 $F_y'(x_0,y_0) \neq 0$，因此条件满足。
步骤 2/5
目标：求一阶导数在 $x_0$ 处的值
由条件 $F_x'(x_0, y_0)=0$，代入隐函数求导公式得 $y'(x_0) = -\frac{F_x(x_0, y_0)}{F_y(x_0, y_0)} = -\frac{0}{F_y(x_0, y_0)} = 0$。因此 $x_0$ 是隐函数 $y=y(x)$ 的一个驻点。
公式：y'(x_0) = -\frac{F_x(x_0, y_0)}{F_y(x_0, y_0)} = 0
提示：不要忘记分母 $F_y(x_0,y_0) \neq 0$，否则无法直接代入。
步骤 3/5
目标：求二阶导数 $y''(x_0)$
对 $y'(x) = -\frac{F_x(x, y)}{F_y(x, y)}$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，使用商法则：
$$y''(x) = -\frac{ (F_{xx} + F_{xy} y') F_y - F_x (F_{yx} + F_{yy} y') }{ (F_y)^2 }.$$
在 $x=x_0$ 处，已知 $y'(x_0)=0$，$F_x(x_0,y_0)=0$，代入得
$$y''(x_0) = -\frac{ F_{xx}(x_0,y_0) \cdot F_y(x_0,y_0) }{ [F_y(x_0,y_0)]^2 } = -\frac{ F_{xx}(x_0,y_0) }{ F_y(x_0,y_0) }.$$
公式：y''(x_0) = -\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}
提示：注意混合偏导 $F_{xy}$ 和 $F_{yx}$ 在二阶连续偏导条件下相等，但此处因 $y'=0$ 和 $F_x=0$ 而消去。
步骤 4/5
目标：判断极值
题目条件给出 $F_{xx}''(x_0, y_0) \cdot F_y'(x_0, y_0) \neq 0$，因此 $y''(x_0) = -\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} \neq 0$。由极值判定定理：若 $y'(x_0)=0$ 且 $y''(x_0) \neq 0$，则 $y(x)$ 在 $x_0$ 处取极值。具体地，若 $y''(x_0) > 0$ 则取极小值，若 $y''(x_0) < 0$ 则取极大值。因此结论成立。
公式：y''(x_0) \neq 0 \Rightarrow \text{极值}
提示：注意 $y''(x_0)$ 的符号由 $F_{xx}$ 和 $F_y$ 的符号共同决定，但题目只要求证明取极值，不要求判断极大或极小。
步骤 5/5
目标：总结证明
由隐函数定理，在 $(x_0, y_0)$ 邻域内存在唯一隐函数 $y=y(x)$，且由条件可得 $y'(x_0)=0$，$y''(x_0) = -\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} \neq 0$，故 $y(x)$ 在 $x_0$ 处取极值。证毕。
公式：y'(x_0)=0,\ y''(x_0)\neq 0 \Rightarrow \text{极值}
提示：本题的关键是利用隐函数求导公式和二阶导数判断极值，注意条件中 $F_{xx}F_y \neq 0$ 保证了二阶导数非零。
步骤 6/6
目标：总结结论
由隐函数定理，方程 $F(x,y)=0$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近确定隐函数 $y=y(x)$，且 $y'(x_0)=0$，$y''(x_0)=-\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} \neq 0$，因此 $y(x)$ 在 $x_0$ 处取极值。证毕。
公式：y'(x_0)=0,\quad y''(x_0)=-\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} \neq 0
提示：证明的关键是利用隐函数求导公式和条件中的非零乘积。
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