合肥工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \min _{x \in[a, b]} f(x)=3$ ，计算
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\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解被积函数的结构与积分的主要贡献区域
由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且最小值为 $3$，故 $f(x) \ge 3$，且存在点 $x_0$ 使得 $f(x_0)=3$。被积函数 $\frac{1}{(f(x))^n}$ 是正的，最大值出现在 $f(x)$ 取最小值 $3$ 的点处，最大值为 $\frac{1}{3^n}$。在其他点，由于 $f(x)>3$，$\frac{1}{(f(x))^n}$ 随 $n$ 增大而指数级衰减，因此积分的主要贡献来自最小值点附近的小邻域。
公式：\frac{1}{(f(x))^n} \le \frac{1}{3^n}
提示：注意 $f(x)$ 连续保证最小值可达，且最小值点可能不止一个，但不影响极限结果。
步骤 2/5
目标：利用最大值原理的已知结论进行初步估计
对于正的连续函数 $g(x)$，有极限公式：
$$
\lim_{n\to\infty} \left( \int_a^b [g(x)]^n \, dx \right)^{1/n} = \max_{x\in[a,b]} g(x).
$$
令 $g(x) = \frac{1}{f(x)}$，则 $g(x)$ 连续且 $\max g(x) = \frac{1}{\min f(x)} = \frac{1}{3}$。直接应用该结论可得所求极限为 $\frac{1}{3}$。
公式：\lim_{n\to\infty} \left( \int_a^b \left( \frac{1}{f(x)} \right)^n dx \right)^{1/n} = \max_{x\in[a,b]} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{3}
提示：该结论成立的条件是 $g(x)$ 连续且非负，这里满足。
步骤 3/5
目标：严格化推导：构造下界估计
设 $x_0$ 为最小值点，即 $f(x_0)=3$。由连续性，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x) \le 3+\varepsilon$。取小区间 $I=[x_0-\delta, x_0+\delta] \cap [a,b]$，其长度记为 $L>0$。则
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\int_a^b \frac{1}{(f(x))^n} dx \ge \int_I \frac{1}{(f(x))^n} dx \ge L \cdot \frac{1}{(3+\varepsilon)^n}.
$$
开 $n$ 次方得
$$
\left( \int_a^b \frac{1}{(f(x))^n} dx \right)^{1/n} \ge L^{1/n} \cdot \frac{1}{3+\varepsilon} \to \frac{1}{3+\varepsilon} \quad (n\to\infty).
$$
公式：\left( \int_a^b \frac{1}{(f(x))^n} dx \right)^{1/n} \ge L^{1/n} \cdot \frac{1}{3+\varepsilon}
提示：注意 $L^{1/n} \to 1$，下界趋于 $1/(3+\varepsilon)$。
步骤 4/5
目标：严格化推导：构造上界估计
由于 $f(x) \ge 3$ 对所有 $x\in[a,b]$ 成立，故 $\frac{1}{(f(x))^n} \le \frac{1}{3^n}$。因此
$$
\int_a^b \frac{1}{(f(x))^n} dx \le (b-a) \cdot \frac{1}{3^n}.
$$
开 $n$ 次方得
$$
\left( \int_a^b \frac{1}{(f(x))^n} dx \right)^{1/n} \le (b-a)^{1/n} \cdot \frac{1}{3} \to \frac{1}{3} \quad (n\to\infty).
$$
公式：\left( \int_a^b \frac{1}{(f(x))^n} dx \right)^{1/n} \le (b-a)^{1/n} \cdot \frac{1}{3}
提示：$(b-a)^{1/n} \to 1$，上界趋于 $1/3$。
步骤 5/5
目标：夹逼定理得出最终极限
由下界估计：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得当 $n>N$ 时，极限值不小于 $\frac{1}{3+\varepsilon}$；由上界估计，极限值不大于 $\frac{1}{3}$。令 $\varepsilon \to 0^+$，由夹逼定理得极限为 $\frac{1}{3}$。
公式：\frac{1}{3+\varepsilon} \le \liminf_{n\to\infty} (\cdots) \le \limsup_{n\to\infty} (\cdots) \le \frac{1}{3} \Rightarrow \lim_{n\to\infty} = \frac{1}{3}
提示：夹逼时需注意下界依赖于 $\varepsilon$，但 $\varepsilon$ 可任意小，故极限只能是 $1/3$。
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