合肥工业大学 2026年数学分析第0题

当 $t \to 0^+$ 时，由 $1 - e^{-\lambda t} \sim \lambda t$，得 $\frac{1-e^{-\lambda t}}{t} \cos t \sim \lambda \cos t$，故 $t=0$ 不是奇点，积分收敛。当 $t \to +\infty$ 时，若 $\lambda > 0$，则 $1-e^{-\lambda t} \to 1$，被积函数渐近于 $\frac{\cos t}{t}$，由 Dirichlet 判别法知积分收敛；若 $\lambda = 0$，则被积函数恒为 $0$，积分值为 $0$。因此对任意 $\lambda \ge 0$，积分有意义。

将积分拆分为 $[0,1]$ 和 $[1,+\infty)$ 两部分。对 $t \in [0,1]$，当 $\lambda$ 属于任意闭区间 $[0,A]$ 时，有 $|1-e^{-\lambda t}| \le \lambda t \le A t$，故 $|f(\lambda,t)| \le A$，在有限区间上可积且一致有界。对 $t \ge 1$，令 $g(t,\lambda)=1-e^{-\lambda t}$，$h(t)=\frac{\cos t}{t}$。$g(t,\lambda)$ 关于 $t$ 单调（$\lambda \ge 0$ 时 $\partial_t g = \lambda e^{-\lambda t} \ge 0$），且 $|g| \le 2$ 一致有界；$\int_a^b \cos t \, dt$ 有界。由 Dirichlet 判别法，积分 $\int_1^\infty \frac{1-e^{-\lambda t}}{t} \cos t \, dt$ 关于 $\lambda$ 一致收敛。被积函数在 $(\lambda,t)$ 上连续，故 $F(\lambda)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。

对 $\lambda > 0$，形式求导得 $F'(\lambda) = \int_0^{+\infty} \frac{\partial}{\partial \lambda} \left( \frac{1-e^{-\lambda t}}{t} \cos t \right) dt = \int_0^{+\infty} e^{-\lambda t} \cos t \, dt$。为验证积分号下求导，取任意 $\lambda_0 > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得 $\lambda \in [\delta, +\infty)$。此时 $|e^{-\lambda t} \cos t| \le e^{-\delta t}$，而 $\int_0^\infty e^{-\delta t} dt = \frac{1}{\delta} < \infty$，故偏导函数在 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛。由含参积分求导定理，$F(\lambda)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，且求导与积分可交换。

计算 $F'(\lambda) = \int_0^\infty e^{-\lambda t} \cos t \, dt$。利用 Laplace 变换公式或分部积分：$\int_0^\infty e^{-\lambda t} \cos t \, dt = \frac{\lambda}{\lambda^2+1}$（$\lambda > 0$）。此结果也可通过两次分部积分或复指数法得到。

已证明：$F(\lambda)=\int_0^{+\infty} \frac{1-e^{-\lambda t}}{t} \cos t \, dt$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续（利用一致收敛性和被积函数连续性），在 $(0,+\infty)$ 内可导（利用控制收敛定理验证求导合法性），且导数为 $\frac{\lambda}{\lambda^2+1}$。

由显式表达式，$F(\lambda)=\frac12\ln(1+\lambda^2)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，导数为 $$F'(\lambda) = \frac{\lambda}{1+\lambda^2}.$$ 该导数在 $(0,+\infty)$ 内处处存在且连续，因此 $F(\lambda)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导。