合肥工业大学 2026年数学分析第0题

方程左边为 $(x^2+y^2+z^2)^3 \ge 0$，右边为 $a^3xyz$，因此必须有 $xyz \ge 0$。这意味着三个变量要么全为正，要么两负一正。由于方程关于三个变量轮换对称且关于原点对称，立体由四个卦限组成：第一卦限 (+++)、第三卦限 (--+)、第六卦限 (-+-)、第八卦限 (+--)。每个卦限内的形状相同，体积相等，故总体积 $V = 4 \times V_1$，其中 $V_1$ 为第一卦限内的体积。

令 $x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$，其中 $r \ge 0$, $0 \le \theta \le \pi$, $0 \le \phi \le 2\pi$。则 $x^2+y^2+z^2 = r^2$，左边为 $r^6$；右边为 $a^3 r^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi$。方程化为 $r^6 = a^3 r^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi$。当 $r>0$ 时，除以 $r^3$ 得 $r^3 = a^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi$，即 $r = a (\sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi)^{1/3}$。

第一卦限对应 $\theta \in (0, \pi/2)$, $\phi \in (0, \pi/2)$，此时 $\cos\theta>0$, $\sin\phi>0$, $\cos\phi>0$，条件满足。球坐标体积元为 $dV = r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi$。对于固定的 $\theta, \phi$，$r$ 从 $0$ 到 $r_{\max} = a (\sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi)^{1/3}$。因此第一卦限体积为： $$V_1 = \int_{\phi=0}^{\pi/2} \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{a (\sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi)^{1/3}} r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi$$

先对 $r$ 积分：$\int_0^{r_{\max}} r^2 \, dr = \frac{r_{\max}^3}{3}$。而 $r_{\max}^3 = a^3 \sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi$，所以 $\frac{r_{\max}^3}{3} = \frac{a^3}{3} \sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi$。代入得： $$V_1 = \frac{a^3}{3} \int_{\phi=0}^{\pi/2} \int_{\theta=0}^{\pi/2} \sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi \cdot \sin\theta \, d\theta\, d\phi = \frac{a^3}{3} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2} \sin^3\theta \cos\theta \cdot \sin\phi \cos\phi \, d\theta\, d\phi$$

被积函数可分离变量： $$V_1 = \frac{a^3}{3} \left( \int_0^{\pi/2} \sin^3\theta \cos\theta \, d\theta \right) \left( \int_0^{\pi/2} \sin\phi \cos\phi \, d\phi \right)$$ 计算第一个积分：令 $u = \sin\theta$，则 $du = \cos\theta \, d\theta$，当 $\theta=0$ 时 $u=0$，$\theta=\pi/2$ 时 $u=1$， $$\int_0^{\pi/2} \sin^3\theta \cos\theta \, d\theta = \int_0^1 u^3 \, du = \frac{1}{4}$$ 计算第二个积分：令 $v = \sin\phi$，则 $dv = \cos\phi \, d\phi$，上下限同样为 $0$ 到 $1$， $$\int_0^{\pi/2} \sin\phi \cos\phi \, d\phi = \int_0^1 v \, dv = \frac{1}{2}$$ 因此 $V_1 = \frac{a^3}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^3}{24}$。

由于立体在四个卦限内形状相同，总体积为 $V = 4 \times V_1 = 4 \times \frac{a^3}{24} = \frac{a^3}{6}$。因此所求立体的体积为 $\frac{a^3}{6}$。

计算 $\int_{0}^{\pi/2} \sin\phi\cos\phi\, d\phi$。令 $v = \sin\phi$，则 $dv = \cos\phi\, d\phi$，上下限对应 $v$ 从0到1，积分化为 $\int_0^1 v\, dv = \frac{1}{2}$。

将两个积分结果代入： $$V = \frac{8a^3}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8a^3}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{a^3}{3}.$$ 因此，曲面所围立体的体积为 $\dfrac{a^3}{3}$。