合肥工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不同的 $\displaystyle \xi, \eta$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件，确定使用拉格朗日中值定理的思路
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$。由拉格朗日中值定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f'(c) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1$。但我们需要找到两个不同的点 $\xi, \eta$ 使得 $f'(\xi)f'(\eta)=1$，因此考虑构造辅助函数，利用介值定理得到另一个点。
公式：f'(c) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 1
提示：注意拉格朗日中值定理的应用条件：闭区间连续，开区间可导。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数并利用介值定理找到中间点
令 $g(x) = f(x) + x - 1$，则 $g(0) = f(0)+0-1 = -1$，$g(1) = f(1)+1-1 = 1$。由介值定理，存在 $a \in (0,1)$ 使得 $g(a)=0$，即 $f(a) = 1 - a$。
公式：g(x) = f(x) + x - 1, \quad g(a)=0 \Rightarrow f(a)=1-a
提示：构造辅助函数时，目标是将端点值转化为异号，以便使用介值定理。
步骤 3/5
目标：在子区间 [0,a] 上应用拉格朗日中值定理得到 ξ
在区间 $[0, a]$ 上，$f(x)$ 满足拉格朗日中值定理条件，故存在 $\xi \in (0, a)$ 使得 $f'(\xi) = \frac{f(a)-f(0)}{a-0} = \frac{1-a}{a}$。
公式：f'(\xi) = \frac{f(a)-f(0)}{a} = \frac{1-a}{a}
提示：注意 $a \in (0,1)$，因此 $\frac{1-a}{a} > 0$。
步骤 4/5
目标：在子区间 [a,1] 上应用拉格朗日中值定理得到 η
在区间 $[a, 1]$ 上，$f(x)$ 同样满足拉格朗日中值定理条件，故存在 $\eta \in (a, 1)$ 使得 $f'(\eta) = \frac{f(1)-f(a)}{1-a} = \frac{1 - (1-a)}{1-a} = \frac{a}{1-a}$。
公式：f'(\eta) = \frac{f(1)-f(a)}{1-a} = \frac{a}{1-a}
提示：注意 $\eta$ 与 $\xi$ 分别位于 $a$ 的两侧，因此 $\xi \neq \eta$。
步骤 5/5
目标：验证乘积并得出结论
计算 $f'(\xi) f'(\eta) = \frac{1-a}{a} \cdot \frac{a}{1-a} = 1$。由于 $\xi \in (0,a)$，$\eta \in (a,1)$，故 $\xi \neq \eta$。因此，在 $(0,1)$ 内存在不同的 $\xi, \eta$ 使得 $f'(\xi) f'(\eta)=1$，证毕。
公式：f'(\xi) f'(\eta) = \frac{1-a}{a} \cdot \frac{a}{1-a} = 1
提示：乘积化简时注意 $a$ 不能为 0 或 1，而 $a \in (0,1)$ 保证了分母不为零。
步骤 6/7
目标：修正构造：利用介值定理找到合适的中间点
考虑函数 $h(x) = f(x)(1-f(x)) - x(1-x)$，则 $h(0)=0$，$h(1)=0$。若 $h(x)$ 不恒为零，则存在 $x_1 \in (0,1)$ 使 $h(x_1) \neq 0$。不妨设 $h(x_1) > 0$，则 $f(x_1)(1-f(x_1)) > x_1(1-x_1)$。取 $a = x_1$，则 $f'(\xi) f'(\eta) = \frac{f(a)(1-f(a))}{a(1-a)} > 1$。类似地，若存在点使 $h<0$，则乘积小于1。由介值定理，存在 $a_0 \in (0,1)$ 使 $h(a_0)=0$，即 $f(a_0)(1-f(a_0)) = a_0(1-a_0)$，此时 $f'(\xi) f'(\eta)=1$。
公式：$h(a_0)=0 \Rightarrow f(a_0)(1-f(a_0)) = a_0(1-a_0)$
提示：关键在于 $h(x)$ 的零点存在性，由介值定理保证。
步骤 7/7
目标：总结并确认结论
取 $a_0$ 使 $h(a_0)=0$，则分别在 $[0,a_0]$ 和 $[a_0,1]$ 上用拉格朗日中值定理得到 $\xi \in (0,a_0)$，$\eta \in (a_0,1)$，且 $f'(\xi) f'(\eta) = \frac{f(a_0)}{a_0} \cdot \frac{1-f(a_0)}{1-a_0} = 1$。由于 $\xi \neq \eta$，结论成立。
公式：$f'(\xi) f'(\eta) = 1$
提示：注意 $\xi$ 和 $\eta$ 属于不同区间，必然不同。
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