合肥工业大学 2026年数学分析第0题

已知 \( a_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx \)，考虑 \( a_n + a_{n+2} \)： \[ a_n + a_{n+2} = \int_0^{\pi/4} \tan^n x (1 + \tan^2 x) \, dx \] 由于 \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{d}{dx} \tan x \)，所以 \[ a_n + a_{n+2} = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, d(\tan x) \] 令 \( t = \tan x \)，当 \( x=0 \) 时 \( t=0 \)，当 \( x=\pi/4 \) 时 \( t=1 \)，于是 \[ a_n + a_{n+2} = \int_0^1 t^n \, dt = \frac{1}{n+1} \]

要求 \( S = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n + a_{n+2}}{n} \)，由递推关系得 \[ \frac{a_n + a_{n+2}}{n} = \frac{1}{n(n+1)} \] 因此 \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \] 裂项：\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)，部分和为 \[ S_N = \left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \cdots + \left(\frac1N - \frac1{N+1}\right) = 1 - \frac1{N+1} \] 令 \( N \to \infty \)，得 \( S = 1 \)。

由递推 \( a_n + a_{n+2} = \frac{1}{n+1} \)，且 \( a_n > 0 \) 递减（因为被积函数 \( \tan^n x \) 在 \( [0,\pi/4] \) 上递减）。由 \( a_n > a_{n+2} \) 得 \[ a_n > \frac{1}{2(n+1)} \] 类似地，由 \( a_{n-2} > a_n \) 可得上界 \( a_n < \frac{1}{2(n-1)} \)（对 \( n \ge 2 \)）。因此 \[ a_n \sim \frac{1}{2n} \quad (n \to \infty) \]

由渐近估计， \[ \frac{a_n}{\sqrt{n}} \sim \frac{1}{2n^{3/2}} \] 而 \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}} \) 是 p-级数（p=3/2>1），故收敛。由比较判别法，原级数绝对收敛。

第一部分：\( \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n + a_{n+2}}{n} = 1 \)。 第二部分：级数 \( \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{\sqrt{n}} \) 收敛。