同济大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．（15 分）设开集 $\displaystyle U \subset \mathbb{R}^{3}$ ，函数 $\displaystyle u \in C^{2}(U)$ ，且在 $U$ 中满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ．证明：对任意 $\displaystyle x_{0} \in U$ ，有
$$
u\left(\mathbf{x}_{0}\right)=\frac{1}{\left|\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)\right|} \iint_{\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)} u \mathrm{~d} S
$$
其中 $\displaystyle B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)$ 为包含于 $U$ 中的以 $\displaystyle x_{0}$ 为球心，$r$ 为半径的任意球，$\displaystyle \left|\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)\right|$ 为球面面积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
已知开集 $U \subset \mathbb{R}^3$，函数 $u \in C^2(U)$ 且满足拉普拉斯方程 $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$。要证明：对任意 $x_0 \in U$ 以及任意以 $x_0$ 为球心、半径为 $r$ 且完全包含于 $U$ 的球 $B(x_0, r)$，有 $u(x_0) = \frac{1}{|\partial B(x_0, r)|} \iint_{\partial B(x_0, r)} u \, dS$，其中 $|\partial B(x_0, r)| = 4\pi r^2$ 为球面面积。
公式：\Delta u = 0
提示：注意 $u$ 是二阶连续可微的，这是应用散度定理的前提。
步骤 2/6
目标：定义球面积分平均值函数
定义函数 $\phi(r) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{\partial B(x_0, r)} u(y) \, dS(y)$。将球面参数化：令 $y = x_0 + r\omega$，其中 $\omega$ 是单位球面上的点，$dS = r^2 d\sigma(\omega)$，$d\sigma$ 是单位球面面积元。代入得 $\phi(r) = \frac{1}{4\pi} \iint_{|\omega|=1} u(x_0 + r\omega) \, d\sigma(\omega)$。
公式：\phi(r) = \frac{1}{4\pi} \iint_{|\omega|=1} u(x_0 + r\omega) \, d\sigma(\omega)
提示：参数化后 $r^2$ 被约掉，简化了后续求导。
步骤 3/6
目标：对平均值函数求导
对 $\phi(r)$ 关于 $r$ 求导，利用积分号下求导法则：$\phi'(r) = \frac{1}{4\pi} \iint_{|\omega|=1} \nabla u(x_0 + r\omega) \cdot \omega \, d\sigma(\omega)$。因为 $\omega$ 是球面外法向单位向量，所以 $\nabla u \cdot \omega = \frac{\partial u}{\partial n}$，即方向导数。转换回原球面积分：$\phi'(r) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{\partial B(x_0, r)} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS$。
公式：\phi'(r) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{\partial B(x_0, r)} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS
提示：注意 $dS = r^2 d\sigma$，转换时不要遗漏因子。
步骤 4/6
目标：应用散度定理（高斯公式）
由高斯公式，对于球体 $B(x_0, r)$，有 $\iint_{\partial B} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_{B} \Delta u \, dV$。因为 $u$ 在 $U$ 内满足 $\Delta u = 0$，所以该三重积分为零，从而 $\phi'(r) = 0$。这表明 $\phi(r)$ 是与 $r$ 无关的常数。
公式：\iint_{\partial B} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_{B} \Delta u \, dV = 0
提示：散度定理要求函数 $C^1$，这里 $u \in C^2$ 满足条件。
步骤 5/6
目标：确定常数值
考虑极限 $r \to 0^+$，此时球面收缩到点 $x_0$。由于 $u$ 连续，球面上的平均值趋于 $u(x_0)$，即 $\lim_{r \to 0^+} \phi(r) = u(x_0)$。而 $\phi(r)$ 是常数，故对任意 $r$ 有 $\phi(r) = u(x_0)$。
公式：\lim_{r \to 0^+} \phi(r) = u(x_0)
提示：连续性保证了极限值等于函数值，这是关键步骤。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $\phi(r) = u(x_0)$ 即得 $u(x_0) = \frac{1}{4\pi r^2} \iint_{\partial B(x_0, r)} u \, dS$，这正是要证明的平均值定理。
公式：u(\mathbf{x}_0)=\frac{1}{|\partial B(\mathbf{x}_0, r)|} \iint_{\partial B(\mathbf{x}_0, r)} u \, dS
提示：该定理是调和函数的基本性质，常用于证明极值原理等。
步骤 7/7
目标：得到球面平均值公式
由于 $\phi(r)$ 恒等于 $u(x_0)$，即
$$
u(x_0) = \frac{1}{|S_r|} \iint_{S_r} u \, dS,
$$
其中 $|S_r| = 4\pi r^2$。证毕。
公式：u(x_0) = \frac{1}{|\partial B(x_0,r)|} \iint_{\partial B(x_0,r)} u \, dS
提示：注意球面面积公式：$|\partial B(x_0,r)| = 4\pi r^2$。
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