同济大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．（ 20 分）判断下列反常积分的玫散性，若收玫，计算积分值；若发散，说明理由．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid x \geq 1, y \geq 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iiint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(x+y+z)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y, z) \mid x>0, y>0, z>0, x+y+z<1\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析第一题的被积函数与积分区域，并转化为累次积分
积分区域为 $D = \{(x, y) \mid x \ge 1, y \ge 1\}$，被积函数为 $f(x,y) = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$。由于区域是无穷区域，考虑化为累次积分：$I = \int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty} \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} \, dy \, dx$。
公式：$I = \int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty} \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} \, dy \, dx$
提示：注意区域不是全象限，不能直接利用对称性说积分值为0。
步骤 2/5
目标：计算内层对y的积分
固定 $x$，注意到 $\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{x^2+y^2} \right) = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$，因此内层积分为 $\int_{1}^{\infty} \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} \, dy = \left[ \frac{y}{x^2+y^2} \right]_{y=1}^{y \to \infty}$。当 $y \to \infty$ 时，$\frac{y}{x^2+y^2} \to 0$，所以结果为 $0 - \frac{1}{x^2+1} = -\frac{1}{x^2+1}$。
公式：$\int_{1}^{\infty} \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} \, dy = -\frac{1}{x^2+1}$
提示：利用原函数简化积分，注意极限计算。
步骤 3/5
目标：计算外层对x的积分，得到第一题结果
外层积分为 $I = \int_{1}^{\infty} -\frac{1}{x^2+1} \, dx = -\left[ \arctan x \right]_{1}^{\infty}$。当 $x \to \infty$，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，$x=1$ 时 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，所以 $I = -\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\pi}{4}$。积分收敛。
公式：$I = -\frac{\pi}{4}$
提示：注意外层积分是定积分，结果有限。
步骤 4/5
目标：分析第二题的区域与奇点，进行变量替换
区域 $D = \{x>0, y>0, z>0, x+y+z<1\}$，被积函数 $\frac{1}{(x+y+z)^2}$ 在 $x+y+z \to 0$ 时发散。令 $u = x+y+z$，$v = y$，$w = z$，则 $x = u - v - w$，雅可比行列式为 $1$。新区域：$u>0$，$v>0$，$w>0$，$v+w < u$，$u<1$。积分化为 $\iiint \frac{1}{u^2} \, du \, dv \, dw$。
公式：$\iiint_D \frac{1}{(x+y+z)^2} \, dxdydz = \iiint_{u,v,w} \frac{1}{u^2} \, du \, dv \, dw$
提示：变量替换后注意区域边界的变化，雅可比行列式为1简化计算。
步骤 5/5
目标：先对v和w积分，再对u积分
固定 $u$，$v,w$ 满足 $v>0, w>0, v+w0,w>0,v+w
公式：$\int_0^1 \frac{1}{u^2} \cdot \frac{u^2}{2} \, du = \frac{1}{2}$
提示：注意 $u^2$ 与 $1/u^2$ 抵消，避免了 $u=0$ 处的发散。
步骤 6/6
目标：计算(2)的三次积分
逐次积分：$\int_{w=0}^v dw = v$，$\int_{v=0}^u v \, dv = \frac{u^2}{2}$，$\int_{u=0}^1 \frac{1}{u^2} \cdot \frac{u^2}{2} \, du = \int_0^1 \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2}$。积分收敛，值为 $\frac{1}{2}$。
提示：注意 $u^2$ 与 $1/u^2$ 约简，避免错误。
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