同济大学 2026年数学分析第9题

由于积分限与参数 y 无关，且被积函数光滑，可在积分号下求偏导。计算： \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{t^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}[\arctan(yt)] \, dt = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{t^2} \cdot \frac{t}{1+y^2 t^2} \, dt = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{t(1+y^2 t^2)} \, dt. \]

类似地，对 x 求偏导： \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \int_0^{+\infty} \frac{1}{t(1+y^2 t^2)} \cdot \frac{\partial}{\partial x}[\arctan(xt)] \, dt = \int_0^{+\infty} \frac{1}{t(1+y^2 t^2)} \cdot \frac{t}{1+x^2 t^2} \, dt = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+x^2 t^2)(1+y^2 t^2)}. \]

当 x ≠ y 时，利用部分分式： \[ \frac{1}{(1+x^2 t^2)(1+y^2 t^2)} = \frac{1}{y^2 - x^2} \left( \frac{y^2}{1+y^2 t^2} - \frac{x^2}{1+x^2 t^2} \right). \]

代入分解式： \[ I = \frac{1}{y^2 - x^2} \left( y^2 \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+y^2 t^2} - x^2 \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+x^2 t^2} \right). \] 利用公式 \[\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+a^2 t^2} = \frac{\pi}{2a},\quad a>0\]，得： \[ y^2 \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+y^2 t^2} = \frac{\pi y}{2}, \quad x^2 \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+x^2 t^2} = \frac{\pi x}{2}. \] 因此： \[ I = \frac{1}{y^2 - x^2} \left( \frac{\pi y}{2} - \frac{\pi x}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{y-x}{y^2 - x^2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{x+y}. \]

当 x = y 时，积分变为 \[\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+x^2 t^2)^2}\]，利用公式 \[\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+a^2 t^2)^2} = \frac{\pi}{4a},\quad a>0\]，得结果为 \[\frac{\pi}{4x}\]。而由 \[\frac{\pi}{2(x+y)}\] 代入 x=y 得 \[\frac{\pi}{4x}\]，两者一致，故公式对所有 x>0, y>0 成立。

当 $x=y$ 时，积分变为 $I=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(1+x^2t^2)^2}$。令 $u=xt$，则 $dt=du/x$， $$I=\frac{1}{x}\int_0^{+\infty}\frac{du}{(1+u^2)^2}.$$ 已知 $\int_0^{+\infty}\frac{du}{(1+u^2)^2}=\frac{\pi}{4}$，所以 $I=\frac{\pi}{4x}$。 注意当 $x=y$ 时，$\frac{\pi}{2(x+y)}=\frac{\pi}{4x}$，因此统一表达式为 $\frac{\pi}{2(x+y)}$。

因此，混合偏导数为 $$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\pi}{2(x+y)},\quad x>0,y>0.$$