同济大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10．（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}=\left(x-z, x^{3}-y z,-3 x y^{2}\right), S: z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \mathbf{n}$ 为 $S$ 上侧的单位法向量，计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \mathrm{~d} S$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与问题
给定向量场 $\mathbf{F} = (x - z,\; x^3 - yz,\; -3xy^2)$，曲面 $S$ 是上半球面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$，取上侧法向量 $\mathbf{n}$。需要计算曲面积分 $\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$。
公式：$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ x-z & x^3-yz & -3xy^2 \end{vmatrix}$
提示：注意旋度的计算要仔细，但本题用斯托克斯定理可避免直接计算旋度。
步骤 2/6
目标：应用斯托克斯定理转化为曲线积分
由斯托克斯定理：$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$，其中 $\partial S$ 是曲面 $S$ 的边界曲线。对于上半球面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$，边界是 $x^2 + y^2 = 4$ 在平面 $z=0$ 上的圆。根据右手定则，上侧法向量对应边界逆时针方向（从上方看）。
公式：$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$
提示：注意边界方向与曲面法向的匹配，否则会差一个负号。
步骤 3/6
目标：写出边界曲线的参数方程
边界圆为 $x^2 + y^2 = 4$，$z=0$，取逆时针方向，参数化为：$x = 2\cos t,\; y = 2\sin t,\; z = 0$，$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
公式：$\mathbf{r}(t) = (2\cos t,\; 2\sin t,\; 0),\quad t \in [0, 2\pi]$
提示：参数化时注意方向，逆时针对应 $t$ 增加。
步骤 4/6
目标：计算被积函数 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$
在边界上 $z=0$，所以 $\mathbf{F} = (x,\; x^3,\; -3xy^2)$。$d\mathbf{r} = (dx,\; dy,\; dz) = (-2\sin t\, dt,\; 2\cos t\, dt,\; 0)$。于是 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = x\,dx + x^3\,dy$（因为 $dz=0$）。代入 $x=2\cos t,\; dx=-2\sin t\, dt,\; dy=2\cos t\, dt$，得：$x\,dx = -4\cos t\sin t\, dt$，$x^3\,dy = 16\cos^4 t\, dt$。所以 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = (-4\cos t\sin t + 16\cos^4 t)\, dt$。
公式：$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = (-4\cos t\sin t + 16\cos^4 t)\, dt$
提示：注意 $dz=0$ 简化了计算，不要遗漏 $dx$ 和 $dy$ 的表达式。
步骤 5/6
目标：计算曲线积分
积分 $\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} (-4\cos t\sin t + 16\cos^4 t)\, dt$。第一项 $-4\cos t\sin t = -2\sin 2t$，在 $[0,2\pi]$ 上积分为 $0$。第二项利用降幂公式：$\cos^4 t = \frac{3+4\cos 2t+\cos 4t}{8}$，则 $16\cos^4 t = 2(3+4\cos 2t+\cos 4t)$。在 $[0,2\pi]$ 上，$\cos 2t$ 和 $\cos 4t$ 的积分为 $0$，常数项积分为 $2 \times 3 \times 2\pi = 12\pi$。
公式：$\int_0^{2\pi} 16\cos^4 t\, dt = 12\pi$
提示：三角函数的周期积分中，正弦和余弦的整数倍周期积分为零，只保留常数项。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
由斯托克斯定理，原曲面积分等于曲线积分的结果，即 $12\pi$。
公式：$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = 12\pi$
提示：检查边界方向是否正确，确保结果符号无误。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
曲面积分的结果为 $12\pi$。
提示：检查单位法向量方向是否正确，若取内侧则结果相反。
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