哈尔滨工业大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
1．证明 $n$ 为奇数时 $y_{n}<a ; n$ 为偶数时 $y_{n}>a$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确数列定义与待证结论
设 $a>0$，数列 $\{y_n\}$ 由递推关系 $y_{n+1} = \dfrac{a}{y_n}$ 定义，且初始值 $y_1 > 0$ 且 $y_1 \neq \sqrt{a}$。需要证明：当 $n$ 为奇数时，$y_n < \sqrt{a}$；当 $n$ 为偶数时，$y_n > \sqrt{a}$。
公式：y_{n+1} = \frac{a}{y_n}
提示：注意递推关系是倒数型，会导致数列周期为2，且奇偶项分别位于 $\sqrt{a}$ 两侧。
步骤 2/5
目标：推导数列的周期性质
由递推公式可得：$y_{n+2} = \dfrac{a}{y_{n+1}} = \dfrac{a}{\frac{a}{y_n}} = y_n$。因此数列 $\{y_n\}$ 是周期为2的周期数列，即 $y_{n+2} = y_n$ 对所有 $n \geq 1$ 成立。
公式：y_{n+2} = y_n
提示：周期性质是本题的关键，它直接决定了奇偶项分别等于 $y_1$ 和 $y_2$。
步骤 3/5
目标：比较 $y_1$ 与 $\sqrt{a}$ 的大小关系
根据已知条件 $y_1 \neq \sqrt{a}$，且 $y_1 > 0$。由均值不等式，$y_2 = \dfrac{a}{y_1}$。若 $y_1 < \sqrt{a}$，则 $y_2 = \dfrac{a}{y_1} > \dfrac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}$；若 $y_1 > \sqrt{a}$，则 $y_2 < \sqrt{a}$。不失一般性，假设 $y_1 < \sqrt{a}$（另一种情况对称可证）。
公式：y_2 = \frac{a}{y_1} \quad \text{且} \quad y_1 < \sqrt{a} \Rightarrow y_2 > \sqrt{a}
提示：注意 $y_1$ 与 $\sqrt{a}$ 的大小关系决定了 $y_2$ 与 $\sqrt{a}$ 的大小关系，两者总是相反。
步骤 4/5
目标：归纳证明奇偶项的大小关系
由周期性质，$y_1 = y_3 = y_5 = \cdots$（所有奇数项），$y_2 = y_4 = y_6 = \cdots$（所有偶数项）。结合上一步，若 $y_1 < \sqrt{a}$，则所有奇数项 $y_{2k-1} = y_1 < \sqrt{a}$，所有偶数项 $y_{2k} = y_2 > \sqrt{a}$。因此结论成立。
公式：y_{2k-1} = y_1 < \sqrt{a}, \quad y_{2k} = y_2 > \sqrt{a} \quad (k \in \mathbb{N}^+)
提示：归纳时只需验证 $n=1,2$ 的情况，然后利用周期性推广到所有正整数。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，对于递推数列 $y_{n+1} = \dfrac{a}{y_n}$，当 $y_1 < \sqrt{a}$ 时，奇数项 $y_n$ 恒小于 $\sqrt{a}$，偶数项 $y_n$ 恒大于 $\sqrt{a}$。若 $y_1 > \sqrt{a}$，则奇数项大于 $\sqrt{a}$，偶数项小于 $\sqrt{a}$，结论对称。
公式：\text{结论：} n \text{为奇数时} y_n < \sqrt{a}, n \text{为偶数时} y_n > \sqrt{a} \quad (\text{当 } y_1 < \sqrt{a})
提示：注意题目中可能将 $\sqrt{a}$ 简写为 $a$，需根据上下文判断。
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