📝 哈尔滨工业大学 2010年数学分析真题
第0题
1．证明 $n$ 为奇数时 $y_{n}<a ; n$ 为偶数时 $y_{n}>a$ ．
第0题
2．证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 存在并求极限值．
第0题
1．证明
$$
0$$
$$
0
第0题
2．记
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
$$
求 $f(x)$ 的表达式与幂级数的收敛半径；
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
$$
求 $f(x)$ 的表达式与幂级数的收敛半径；
第0题
3．求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
第0题
2．计算
$$
\iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为曲面 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面．
$$
\iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为曲面 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面．
第0题
3．计算
$$
\int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z
$$
其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的曲线 $x=\sin ^{2010} t, y=(2 \sin t \cos t)^{1005}, z=\cos ^{2010} t, t \in[0,2 \pi]$ ．
$$
\int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z
$$
其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的曲线 $x=\sin ^{2010} t, y=(2 \sin t \cos t)^{1005}, z=\cos ^{2010} t, t \in[0,2 \pi]$ ．
第0题
六．（15 分）设有按大小排列的 $m$ 个点：$\displaystyle a_{1}^{(1)} \leqslant a_{2}^{(1)} \leqslant \cdots \leqslant a_{m}^{(1)}$ ．用 $\displaystyle \frac{a_{1}^{(1)}+a_{m}^{(1)}}{2}$ 代替 $\displaystyle a_{1}^{(1)}$ 和 $\displaystyle a_{m}^{(1)}$ ，然后再按大小排列，得：$\displaystyle a_{1}^{(2)} \leqslant a_{2}^{(2)} \leqslant \cdots \leqslant a_{m}^{(2)}$ 。再用 $\displaystyle \frac{a_{1}^{(2)}+a_{m}^{(2)}}{2}$ 代替 $\displaystyle a_{1}^{(2)}$ 和 $\displaystyle a_{m}^{(2)}$ ，然后再按大小排列，得： $\displaystyle a_{1}^{(3)} \leqslant a_{2}^{(3)} \leqslant \cdots \leqslant a_{m}^{(3)} \cdots$ ，依次下去，得 $m$ 个点列 $\displaystyle \left\{a_{1}^{(n)}\right\},\left\{a_{2}^{(n)}\right\}, \cdots,\left\{a_{m}^{(n)}\right\}$ ，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{j}^{(n)}=\frac{a_{1}^{(1)}+a_{2}^{(1)}+\cdots+a_{m}^{(1)}}{m}(j=1,2, \cdots, m)
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{j}^{(n)}=\frac{a_{1}^{(1)}+a_{2}^{(1)}+\cdots+a_{m}^{(1)}}{m}(j=1,2, \cdots, m)
$$
第0题
十．（15 分）1．设 $C$ 单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为逆时针方向，计算积分：
$$
\int_{C}\left(\sqrt{1+x^{2}}-y \mathrm{e}^{x y}+3 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x \mathrm{e}^{x y}+\ln \left(1+y^{4}\right)\right) \mathrm{d} y
$$
2．计算
$$
\iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面．
3．计算
$$
\int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z
$$
其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的曲线 $\displaystyle x=\sin ^{2010} t, y=(2 \sin t \cos t)^{1005}, z=\cos ^{2010} t, t \in[0,2 \pi]$ ．
$$
\int_{C}\left(\sqrt{1+x^{2}}-y \mathrm{e}^{x y}+3 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x \mathrm{e}^{x y}+\ln \left(1+y^{4}\right)\right) \mathrm{d} y
$$
2．计算
$$
\iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面．
3．计算
$$
\int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z
$$
其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的曲线 $\displaystyle x=\sin ^{2010} t, y=(2 \sin t \cos t)^{1005}, z=\cos ^{2010} t, t \in[0,2 \pi]$ ．
第0题
四．（15 分）按提示的思路用两种不同方法证明：
$$
\ln \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right) \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x
$$
其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ ．
思路 1：利用定积分的定义；
思路2：应用积分中值后再用 Taylor 公式；
思路 3：其它方法．
$$
\ln \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right) \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x
$$
其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ ．
思路 1：利用定积分的定义；
思路2：应用积分中值后再用 Taylor 公式；
思路 3：其它方法．