哈尔滨工业大学 2010年数学分析第0题

给定曲线积分： $$ \int_{C}\left(\sqrt{1+x^{2}}-y \mathrm{e}^{x y}+3 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x \mathrm{e}^{x y}+\ln \left(1+y^{4}\right)\right) \mathrm{d} y $$ 其中 \(C\) 是单位圆 \(x^2+y^2=1\)，逆时针方向。 令 \(P = \sqrt{1+x^2} - y e^{xy} + 3y\)，\(Q = x^2 - x e^{xy} + \ln(1+y^4)\)。 计算偏导数： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - e^{xy} - xy e^{xy} $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = -e^{xy} - xy e^{xy} + 3 $$ 格林定理给出： $$ \oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy $$ 其中 \(D\) 是单位圆盘。 计算被积函数： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2x - e^{xy} - xy e^{xy}) - (-e^{xy} - xy e^{xy} + 3) = 2x - 3 $$

原积分化为： $$ \iint_{x^2+y^2 \le 1} (2x - 3) \, dx\,dy $$ 由对称性，\(x\) 在圆域上的积分为 0。 常数项 \(-3\) 乘以圆的面积 \(\pi\) 得 \(-3\pi\)。 因此第一题结果为： $$ \boxed{-3\pi} $$

给定曲面积分： $$ \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 \(S\) 为曲面 \(|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1\) 的外表面。 令向量场 \(\mathbf{F} = (x-y+z,\; y-z+x,\; z-x+y)\)。 计算散度： $$ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x-y+z) + \frac{\partial}{\partial y}(y-z+x) + \frac{\partial}{\partial z}(z-x+y) = 1+1+1 = 3 $$ 由高斯定理： $$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iiint_V 3 \, dV = 3 \cdot \text{体积}(V) $$ 其中 \(V\) 是 \(|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y| \le 1\) 所围区域。

作变量替换： $$ u = x - y + z, \quad v = y - z + x, \quad w = z - x + y $$ 则区域变为 \(|u|+|v|+|w| \le 1\)，这是一个正八面体，其体积为 \(\frac{4}{3}\)。 解出 \(x, y, z\)： $$ x = \frac{v+w}{2}, \quad y = \frac{u+w}{2}, \quad z = \frac{u+v}{2} $$ 计算雅可比行列式： $$ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{vmatrix} = -\frac{1}{4} $$ 绝对值为 \(\frac{1}{4}\)。 因此原体积： $$ \text{体积}(V) = \iiint_{|u|+|v|+|w| \le 1} \frac{1}{4} \, du\,dv\,dw = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3} $$ 积分值为 \(3 \times \frac{1}{3} = 1\)。 第二题结果为： $$ \boxed{1} $$

给定曲线积分： $$ \int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z $$ 其中曲线参数化为： $$ x = \sin^{2010} t, \quad y = (2\sin t\cos t)^{1005} = \sin^{1005} 2t, \quad z = \cos^{2010} t, \quad t \in [0, 2\pi] $$ 方向为 \(t\) 增大方向。 令 \(\mathbf{F} = (y+z, z+x, x+y)\)。 计算旋度： $$ \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial}{\partial y}(x+y) - \frac{\partial}{\partial z}(z+x), \; \frac{\partial}{\partial z}(y+z) - \frac{\partial}{\partial x}(x+y), \; \frac{\partial}{\partial x}(z+x) - \frac{\partial}{\partial y}(y+z) \right) = (1-1, 1-1, 1-1) = \mathbf{0} $$ 因此 \(\mathbf{F}\) 是保守场，存在势函数。 容易验证势函数为 \(f(x,y,z) = xy + yz + zx\)，因为： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = y+z, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = z+x, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = x+y $$ 曲线积分与路径无关，只取决于起点和终点。 计算起点 \(t=0\)： $$ x=0, \quad y=0, \quad z=1 $$ 终点 \(t=2\pi\)： $$ x=0, \quad y=0, \quad z=1 $$ 起点与终点相同，因此闭合路径积分为 0。 第三题结果为： $$ \boxed{0} $$